Определение и формулы для вычисления элементов треугольника

Одной из самых изученных фигур в математике является треугольник. Вычисление его элементов выполняется по формулам, полученным благодаря открытию свойств геометрического тела. Изучают их в седьмом классе средней школы. Эти знания позже используются для доказательства ряда теорем и нахождения параметров более сложных фигур.

Общие сведения

Ещё в Древней Греции появилась довольно полная теория геометрии треугольников. Их свойствами в своё время занимались: Евклид, Архимед, Птолемей, Папп Александрийский. Весомый вклад в развитие науки внесли индийские учёные. Именно они к концу XIII века открыли и доказали базовые теоремы, после успешно используемые на практике. Но только через четыре века благодаря трудам Лейбница, Торричелли, Эйлера были обнаружены замечательные линии и точки фигуры.

Под треугольником в математике понимают ломанную замкнутую линию, на которой можно выделить три отрезка, соединяющих такое же количество точек, не лежащих на одной прямой. По сути, треугольная фигура является частным случаем многоугольника, обладающего тремя углами. Точки соприкосновения отрезков называют вершинами, а прямые, образующие их — сторонами. Плоскость, заключённая внутрь фигуры, является внутренней. Она фактически образует площадь треугольника. Вершины фигуры принято обозначать с помощью заглавных букв. С их помощью подписывают и сам треугольник, например, ABC. Часто в обозначение добавляют значок Δ. Сторону обычно подписывают тем же символом, что и вершину противолежащего угла, но при этом используют прописные буквы. Существуют несколько классификаций треугольников. Чаще всего применяют разделение по числу равных сторон. Согласно ему, фигуры с тремя углами бывают:

• разносторонними — многоугольники, у которых все стороны одинаковой длины;
• равнобедренными — фигуры, образующиеся из двух одинаковых отрезков;
• равносторонними — треугольники, у которых все стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные отрезки называю боковыми, а отличную от них сторону — основанием. Так как из определения рассматриваемый многоугольник имеет три угла, то существует классификация и по их величине. Когда они у фигуры острые, то её называют остроугольной, один из них прямой — прямоугольным, а если тупой — тупоугольным.

Вне зависимости от вида сумма всех углов всегда равняется 180 градусов. Следовательно, два из них обязательно должны быть острыми, то есть меньше 90° .

Вершины, углы и стороны

Как и любое геометрическое тело, треугольник состоит из элементов. С их помощью классифицируют многоугольник, а также определяют его основные параметры. Например, вычисляют площадь или периметр, находят длины различных отрезков. Зная основные величины, можно выполнить сравнение фигур, доказать их равенство или подобие. К основным частям, из которых состоит многоугольник, относят вершины, стороны, углы.

Изучают способы нахождения элементов треугольника в 7 классе средней школы. Для решения задачи должны быть известны некоторые данные. Так, существует пять возможных вариантов, позволяющих вычислить основные элементы фигуры. Их можно перечислить в следующей последовательности:

• три отрезка;
• две стороны и принадлежащий им угол;
• два отрезка и противолежащий им угол;
• сторона и два образованных ею угла;
• отрезок, противолежащий угол и любой из прилежащих.

К основным методам, позволяющим выполнять вычисления, относят теоремы синусов и косинусов. Согласно одной из них, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся отрезков минус их удвоенное произведение, умноженное на косинус противолежащего ей угла: a² = b² + c² — 2* b * c * cos (a). Это правило справедливо для нахождения любой стороны: b² = a² + c² — 2* a * c * cos (b), c² = a² + b² — 2* a * b * cos (с). Теорема синусов позволяет составить отношение вида: a / sin (a) = b / sib (b) = c / sin (с). То есть её определение звучит так: противолежащие углы обратно пропорциональны сторонам треугольника. Существует расширенная версия правила. Согласно ему, такое отношение равняется диаметру вписанной в фигуру окружности. Но чаще используют не его, а удвоенное произведение радиуса: a / sin (a) = 2 * R.

На практике кроме основных правил применяют теоремы тангенсов и котангенсов, метод проекций и формулы Мольвейде. Первые две являются следствием из утверждений о синусах и косинусах. Формулировка первой утверждает, что верным является следующее равенство: (a — b) / (a + b) = tg ((a — b) / 2) / tg ((a + b) / 2). Второй же связывает радиус вписанной окружности с величиной сторон: ctg (a) / 2 = p — BC / r, где: BC — длина стороны, a — не принадлежащий ей угол, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности. Теорема о проекциях используется при решениях, связанных с остроугольными фигурами. Записывают её в следующем виде: b = c * cos (a) + a * cos (b). Формулы Мольвейде выражают тригонометрические соответствия при вершинах треугольника. Они имеют вид: (a + b) / c = cos ((a — b) / 2) / sin (с / 2); (a — b) / c = sin ((a — b) / 2) / cos (с / 2). Причём если разделить отдельно правые и левые части, то получится теорема тангенсов.

Второстепенные части

К дополнительным элементам, которые можно выделить в треугольнике, относят и так называемые замечательные линии. Своё имя они получили из-за тех или иных интересных свойств. Кроме этого, в треугольном многоугольнике выделяют несколько видов точек. Их особенность: вне зависимости от того, в каком порядке используются стороны и вершины фигуры, местоположение точек однозначно определяется треугольником. К особым прямым фигуры относят:

1. Высоту — перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противолежащую ему сторону. Последнюю называют основанием. Таких отрезков в треугольнике,может быть три, при этом они пересекаются в одной точке. В некоторых случаях высота может выходить за внутреннюю площадь, касаясь не основания, а её продолжение. Обозначают линию с помощью буквы h. Для её нахождения можно использовать следующие формулы: ha = 2 * S / a = b * sin (с) = c * sin (b) = b * c / 2 * R.
2. Медиана — прямая, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны. Построить их можно три штуки. Все эти отрезки будут пересекаться в одной точке. В ней прямые делятся на два отрезка в соотношении два к одному, если вести отсчёт от вершины. Определить длину медианы можно, зная размеры трёх сторон: m = √ ((2 * b^{2 +} 2 * c² — a²) / 4). Сумма квадратов всех таких прямых равняется 3/4 от результата сложения выражения: (a² + b² + c²). Медиана делит фигуру на два равновеликих треугольника. В прямоугольном многоугольнике линия, построенная к гипотенузе, равна её половине.
3. Биссектриса — луч, являющийся элементом угла в геометрии и разделяющий его на две равные части. Любому треугольному многоугольнику может принадлежать три таких линии, пересекающиеся в одной точке. Каждая из них в ней делится в отношении суммы прилежащих отрезков к противолежащему, считая от вершины. Угол между биссектрисами равняется 90 градусов. Построенный луч к противоположной стороне делит её в отношении, равном соответствию двух прилегающих отрезков: BD / CD = AB / AC; BD / AB = CD / AC.

К замечательным точкам относят место пересечения медиан, биссектрис и высоты. В любой фигуре ортоцентр, центр тяжести и описанной окружности располагаются на одной прямой. Её принято называть Эйлеровской, по имени математика.

Решение задач

Знание значений перечисленных элементов позволяет вычислять различные параметры фигуры, например углы, площадь, стороны, без выполнения измерений. Этим довольно часто и пользуются на практике. Но для успешного решения геометрических задач необходимо не только знать элементы, но и уметь вычислять площадь фигуры (S = a * h / 2) и периметр (P = a + b + c). Вот некоторые из типовых заданий, рассчитанных на группу учеников среднего уровня подготовки:

1. Периметр треугольной фигуры составляет 50 см. Известно, что одна сторона превышает другую на 5 см и меньше оставшейся на 2 см. Определить значения всех сторон. Пусть одна боковина будет равна икс, тогда оставшиеся будут (x — 5) и (x + 1). Так как периметр равен 50, то можно записать: x + (x - 5) + (x + 1) = 50. После решения этого уравнения в ответе получится 18. Следовательно, длины оставшихся сторон составят 13 и 19 сантиметров.
2. На производстве выпускается серия треугольных деталей. Периметр каждой из них равняется P = 24 см. Имеющиеся заготовки разделили так, что периметры двух новых фигур составили P1 = 12 и P2 = 20 см. Найти, чему равна сторона спила. Для решения этой задачи необходимо опередить высоту фигуры. Пусть заготовка представляет собой треугольник ABC. После его разреза образовался многоугольник ABH и ACH. Значит, можно записать: P1 + P2 = P + 2 * AH. Откуда AH = 4 см.
3. В равнобедренной фигуре отношение боковой стороны к основанию составляет 5/6, а периметр равняется 48 см. Вычислить неизвестные стороны. Пусть AC будет называться основанием, тогда AB и BC — стороны. Периметр многоугольника можно найти как P = AB + BC + AC = (5/6) * AC + AC + (5/6) * AC = (16 / 6) * AC. Чтобы вычислить боковую сторону, нужно составить уравнение: AC = 48 / (5 / 6) = 18 см. Значит, AB = BC = (5 * 18) / 6 = 15 сантиметров.

Следует отметить, что в частных случаях для вычисления размеров элементов треугольника можно использовать упрощённые формулы.

Так, в прямоугольной фигуре площадь можно определить с помощью формулы: S = a * b /2. Для такого треугольника характерно равенство: a² + b² = c², где c — сторона, противоположная прямому углу. Причём если треугольник с ∠ 90 ° , то стороны, образующие его, можно назвать высотами.

Одной из самых изученных фигур в математике является треугольник. Вычисление его элементов выполняется по формулам, полученным благодаря открытию свойств геометрического тела. Изучают их в седьмом классе средней школы. Эти знания позже используются для доказательства ряда теорем и нахождения параметров более сложных фигур.

Общие сведения

Ещё в Древней Греции появилась довольно полная теория геометрии треугольников. Их свойствами в своё время занимались: Евклид, Архимед, Птолемей, Папп Александрийский. Весомый вклад в развитие науки внесли индийские учёные. Именно они к концу XIII века открыли и доказали базовые теоремы, после успешно используемые на практике. Но только через четыре века благодаря трудам Лейбница, Торричелли, Эйлера были обнаружены замечательные линии и точки фигуры.

Под треугольником в математике понимают ломанную замкнутую линию, на которой можно выделить три отрезка, соединяющих такое же количество точек, не лежащих на одной прямой. По сути, треугольная фигура является частным случаем многоугольника, обладающего тремя углами. Точки соприкосновения отрезков называют вершинами, а прямые, образующие их — сторонами. Плоскость, заключённая внутрь фигуры, является внутренней. Она фактически образует площадь треугольника. Вершины фигуры принято обозначать с помощью заглавных букв. С их помощью подписывают и сам треугольник, например, ABC. Часто в обозначение добавляют значок Δ. Сторону обычно подписывают тем же символом, что и вершину противолежащего угла, но при этом используют прописные буквы. Существуют несколько классификаций треугольников. Чаще всего применяют разделение по числу равных сторон. Согласно ему, фигуры с тремя углами бывают:

• разносторонними — многоугольники, у которых все стороны одинаковой длины;
• равнобедренными — фигуры, образующиеся из двух одинаковых отрезков;
• равносторонними — треугольники, у которых все стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные отрезки называю боковыми, а отличную от них сторону — основанием. Так как из определения рассматриваемый многоугольник имеет три угла, то существует классификация и по их величине. Когда они у фигуры острые, то её называют остроугольной, один из них прямой — прямоугольным, а если тупой — тупоугольным.

Вне зависимости от вида сумма всех углов всегда равняется 180 градусов. Следовательно, два из них обязательно должны быть острыми, то есть меньше 90° .

Вершины, углы и стороны

Как и любое геометрическое тело, треугольник состоит из элементов. С их помощью классифицируют многоугольник, а также определяют его основные параметры. Например, вычисляют площадь или периметр, находят длины различных отрезков. Зная основные величины, можно выполнить сравнение фигур, доказать их равенство или подобие. К основным частям, из которых состоит многоугольник, относят вершины, стороны, углы.

Изучают способы нахождения элементов треугольника в 7 классе средней школы. Для решения задачи должны быть известны некоторые данные. Так, существует пять возможных вариантов, позволяющих вычислить основные элементы фигуры. Их можно перечислить в следующей последовательности:

• три отрезка;
• две стороны и принадлежащий им угол;
• два отрезка и противолежащий им угол;
• сторона и два образованных ею угла;
• отрезок, противолежащий угол и любой из прилежащих.

К основным методам, позволяющим выполнять вычисления, относят теоремы синусов и косинусов. Согласно одной из них, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся отрезков минус их удвоенное произведение, умноженное на косинус противолежащего ей угла: a² = b² + c² — 2* b * c * cos (a). Это правило справедливо для нахождения любой стороны: b² = a² + c² — 2* a * c * cos (b), c² = a² + b² — 2* a * b * cos (с). Теорема синусов позволяет составить отношение вида: a / sin (a) = b / sib (b) = c / sin (с). То есть её определение звучит так: противолежащие углы обратно пропорциональны сторонам треугольника. Существует расширенная версия правила. Согласно ему, такое отношение равняется диаметру вписанной в фигуру окружности. Но чаще используют не его, а удвоенное произведение радиуса: a / sin (a) = 2 * R.

На практике кроме основных правил применяют теоремы тангенсов и котангенсов, метод проекций и формулы Мольвейде. Первые две являются следствием из утверждений о синусах и косинусах. Формулировка первой утверждает, что верным является следующее равенство: (a — b) / (a + b) = tg ((a — b) / 2) / tg ((a + b) / 2). Второй же связывает радиус вписанной окружности с величиной сторон: ctg (a) / 2 = p — BC / r, где: BC — длина стороны, a — не принадлежащий ей угол, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности. Теорема о проекциях используется при решениях, связанных с остроугольными фигурами. Записывают её в следующем виде: b = c * cos (a) + a * cos (b). Формулы Мольвейде выражают тригонометрические соответствия при вершинах треугольника. Они имеют вид: (a + b) / c = cos ((a — b) / 2) / sin (с / 2); (a — b) / c = sin ((a — b) / 2) / cos (с / 2). Причём если разделить отдельно правые и левые части, то получится теорема тангенсов.

Второстепенные части

К дополнительным элементам, которые можно выделить в треугольнике, относят и так называемые замечательные линии. Своё имя они получили из-за тех или иных интересных свойств. Кроме этого, в треугольном многоугольнике выделяют несколько видов точек. Их особенность: вне зависимости от того, в каком порядке используются стороны и вершины фигуры, местоположение точек однозначно определяется треугольником. К особым прямым фигуры относят:

1. Высоту — перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противолежащую ему сторону. Последнюю называют основанием. Таких отрезков в треугольнике,может быть три, при этом они пересекаются в одной точке. В некоторых случаях высота может выходить за внутреннюю площадь, касаясь не основания, а её продолжение. Обозначают линию с помощью буквы h. Для её нахождения можно использовать следующие формулы: ha = 2 * S / a = b * sin (с) = c * sin (b) = b * c / 2 * R.
2. Медиана — прямая, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны. Построить их можно три штуки. Все эти отрезки будут пересекаться в одной точке. В ней прямые делятся на два отрезка в соотношении два к одному, если вести отсчёт от вершины. Определить длину медианы можно, зная размеры трёх сторон: m = √ ((2 * b^{2 +} 2 * c² — a²) / 4). Сумма квадратов всех таких прямых равняется 3/4 от результата сложения выражения: (a² + b² + c²). Медиана делит фигуру на два равновеликих треугольника. В прямоугольном многоугольнике линия, построенная к гипотенузе, равна её половине.
3. Биссектриса — луч, являющийся элементом угла в геометрии и разделяющий его на две равные части. Любому треугольному многоугольнику может принадлежать три таких линии, пересекающиеся в одной точке. Каждая из них в ней делится в отношении суммы прилежащих отрезков к противолежащему, считая от вершины. Угол между биссектрисами равняется 90 градусов. Построенный луч к противоположной стороне делит её в отношении, равном соответствию двух прилегающих отрезков: BD / CD = AB / AC; BD / AB = CD / AC.

К замечательным точкам относят место пересечения медиан, биссектрис и высоты. В любой фигуре ортоцентр, центр тяжести и описанной окружности располагаются на одной прямой. Её принято называть Эйлеровской, по имени математика.

Решение задач

Знание значений перечисленных элементов позволяет вычислять различные параметры фигуры, например углы, площадь, стороны, без выполнения измерений. Этим довольно часто и пользуются на практике. Но для успешного решения геометрических задач необходимо не только знать элементы, но и уметь вычислять площадь фигуры (S = a * h / 2) и периметр (P = a + b + c). Вот некоторые из типовых заданий, рассчитанных на группу учеников среднего уровня подготовки:

1. Периметр треугольной фигуры составляет 50 см. Известно, что одна сторона превышает другую на 5 см и меньше оставшейся на 2 см. Определить значения всех сторон. Пусть одна боковина будет равна икс, тогда оставшиеся будут (x — 5) и (x + 1). Так как периметр равен 50, то можно записать: x + (x - 5) + (x + 1) = 50. После решения этого уравнения в ответе получится 18. Следовательно, длины оставшихся сторон составят 13 и 19 сантиметров.
2. На производстве выпускается серия треугольных деталей. Периметр каждой из них равняется P = 24 см. Имеющиеся заготовки разделили так, что периметры двух новых фигур составили P1 = 12 и P2 = 20 см. Найти, чему равна сторона спила. Для решения этой задачи необходимо опередить высоту фигуры. Пусть заготовка представляет собой треугольник ABC. После его разреза образовался многоугольник ABH и ACH. Значит, можно записать: P1 + P2 = P + 2 * AH. Откуда AH = 4 см.
3. В равнобедренной фигуре отношение боковой стороны к основанию составляет 5/6, а периметр равняется 48 см. Вычислить неизвестные стороны. Пусть AC будет называться основанием, тогда AB и BC — стороны. Периметр многоугольника можно найти как P = AB + BC + AC = (5/6) * AC + AC + (5/6) * AC = (16 / 6) * AC. Чтобы вычислить боковую сторону, нужно составить уравнение: AC = 48 / (5 / 6) = 18 см. Значит, AB = BC = (5 * 18) / 6 = 15 сантиметров.

Следует отметить, что в частных случаях для вычисления размеров элементов треугольника можно использовать упрощённые формулы.

Так, в прямоугольной фигуре площадь можно определить с помощью формулы: S = a * b /2. Для такого треугольника характерно равенство: a² + b² = c², где c — сторона, противоположная прямому углу. Причём если треугольник с ∠ 90 ° , то стороны, образующие его, можно назвать высотами.