Геометрия: биссектриса равнобедренного треугольника и ее свойства

Каждый школьник, знакомый с геометрией, знает о существовании отрезка или прямой линии, которая называется биссектрисой. Она существует для всякого объекта, который имеет угловую меру. Рассмотрение биссектрисы равнобедренного треугольника и ее свойств необходимо для решения многих геометрических задач.

Оглавление:

• О равнобедренной фигуре
• Делящая пополам угол полупрямая
• Биссектриса в треугольнике

О равнобедренной фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению теорем и свойств биссектрисы в треугольнике с равными двумя сторонами, следует подробно изучить эту геометрическую фигуру.

Как и всякий треугольник, равнобедренный состоит из трех сторон, ограниченных тремя вершинами. Причем два образующих фигуру отрезка равны друг другу по длине. Также равными являются углы, напротив которых находятся одинаковые стороны. Такие фигуры могут быть следующих типов:

• остроугольные;
• тупоугольные (с одним тупым углом);
• прямоугольные (с одинаковыми катетами и острыми углами по 45°).

Следует знать одно важное свойство об этих фигурах. Пусть ABC является треугольником равнобедренным, у которого AB=AC, тогда высота, проведенная из вершины A, пересечет сторону BC не только под прямым углом, но и ровно посередине. Кроме того, угол A этой высотой будет разделен точно пополам. Иными словами, для вершины A высота одновременно является медианой и биссектрисой. Исходную фигуру она делит на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Делящая пополам угол полупрямая

Угол является геометрическим объектом, который на плоскости образуется в результате пересечения двух прямых. На самом деле в результате этого пересечения образуется четыре попарно равных угла.

Пусть m1 и m2 — это пересекающиеся прямые, которые имеют общую точку A. Теперь необходимо из A провести полубесконечную прямую таким образом, чтобы любая из ее точек находилась на одинаковом расстоянии от m1 и m2. Очевидно, что с увеличением дистанции от A расстояние от полупрямой до m1 и m2 также будет возрастать, однако главное то, чтобы для любой ее точки оно оставалось равным от нее до m1 и m2. Построенный объект называется биссектрисой.

Можно сказать, что совокупность точек на плоскости, которые лежат на одной прямой и отстоят от образующих угла на одинаковом расстоянии, тоже называется биссектрисой. По сути, на ней лежат центры вписанных в угол окружностей.

Способы построения

В школе изучают несколько способов геометрического построения делящих угол пополам полупрямых. Для произвольного случая можно назвать два основных варианта:

1. С помощью транспортира. Речь идет об использовании простого инструмента измерения углов. Если центр транспортира расположить в вершине, а начало его шкалы на одной из образующих, то легко измерить угловую меру объекта. Как только она будет известна, ее следует разделить пополам и поставить сверху шкалы транспортира отметку. Соединяя последнюю с вершиной угла, можно получить биссектрису.
2. С помощью линейки и циркуля. Этот способ построения искомой полупрямой не требует знания угловой меры рассматриваемого объекта. Для начала следует расположить циркуль в вершине и провести произвольную окружность. Она будет пересекать образующие в некоторых точках. Теперь в них следует поставить ножку циркуля и провести пару полуокружностей. Последние пересекутся в двух точках, соединив которые можно получить искомую полупрямую.

Если эту полупрямую строить в равнобедренном треугольнике, то следует просто соединить середину любой стороны с противоположной вершиной.

Пересечение двух линий

Поскольку в результате пересечения двух прямых образуется две пары равных углов, то можно построить две разные биссектрисы для каждой из них. При этом всегда будет справедливо следующее свойство: пересекающиеся прямые полулинии, делящие углы пополам, сами пересекаются всегда под прямым углом.

Доказательство этого утверждения провести несложно, и это может сделать каждый школьник. Для этого лишь нужно отметить углы, которые с прямыми образуют биссектрисы. Например, одна пара α и α, вторая — β и β. Затем нужно обратить внимание, что справедливо равенство:

α + α + β + β = 180°.

Угловая мера между биссектрисами точно равна α + β. Она составляет половину отмеченной суммы, то есть 90°. Доказанное утверждение справедливо всегда, независимо от угла пересечения исходных прямых линий.

Нахождение уравнения

Одной из сложных задач в геометрии является определение уравнения биссектрисы, если известны соответствующие выражения для пересекающихся прямых. Существует универсальный способ решения. Он заключается в выполнении следующей последовательности действий:

1. Приведение исходных уравнений прямых в векторную форму.
2. Нахождение формулы для точки (x, y), которая будет располагаться на одинаковом расстоянии от каждой из прямых.
3. Определение по найденной формуле двух произвольных точек P и Q.
4. Запись уравнения биссектрисы в векторной форме по двум точкам P и Q.
5. Преобразование векторного выражения в общую форму вида y = f (x).

Биссектриса в треугольнике

Поскольку рассматриваемая фигура на плоскости имеет три в общем случае различных угла, то для нее можно провести три отрезка, каждый из которых будет делить строго пополам соответствующую угловую меру каждой из вершин. То есть любой треугольник имеет три биссектрисы. Важно отметить, что все они пересекаются в одной точке, которая является внутренним центром фигуры.

Пусть O — это точка пересечения биссектрис. Необходимо доказать, что она также является центром вписанной в фигуру окружности. Для доказательства следует привлечь свойство само́й биссектрисы. Поскольку любая ее точка отстоит на равном расстоянии от каждой из образующих угла, то пересечение двух биссектрис в O уже говорят о том, что O находится на одинаковом расстоянии от всех трех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.

Соответственно, третья полупрямая также пройдет через O, поскольку эта точка отстоит на равных расстояниях от образующих соответствующего угла.

Полезные формулы

Для решения задач с отрезками, делящими пополам углы треугольника, важно знать некоторые формулы. Одной из них является следующая:

a*b = m*n + l ².

Здесь введены такие обозначения:

• a, b — длины сторон треугольника, формирующие секущий угол;
• l — длина отрезка биссектрисы, который начинается в вершине пересечения a и b, и заканчивается в точке пересечения противоположной стороны треугольника;
• m, n — отрезки, на которые биссектриса l делит противоположную сторону.

Как известно, любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой, то есть a=b и m=n. Тогда записанное выражение для этой фигуры преобразуется в следующий простой вид:

a ² = m ² + l ².

Неслучайно получилось выражение теоремы Пифагора, поскольку любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой, и наоборот. Эта формула позволяет вычислить длину биссектрисы, если известны отсекаемые отрезки и две стороны треугольника.

Существует еще одно выражение, которое уже по трем сторонам фигуры позволяет определить длину соответствующего секущего отрезка. Оно имеет следующую математическую формулу:

l = 2/(b+c)*(b*c*p*(p-a))^0,5.

Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Эта формула записана для вершины A, которую образуют отрезки b и c. Круговой перестановкой переменных можно записать аналогичные выражения для двух оставшихся вершин фигуры.

Важная теорема

Она также носит название теоремы биссектрис. Впервые была сформулирована в «Элементах» Евклида в Античной Греции. Ее словесную формулировку можно записать следующим образом:

Отношение длин сторон треугольника строго равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону фигуры.

Пусть имеется треугольник ABC. Секущий отрезок проведен из вершины A и пересекает BC в точке M. Записанная теорема постулирует следующее равенство:

AB/AC = BM/CM.

Чтобы доказать эту теорему, следует продолжить линию AM до того момента, когда станет возможным построить треугольник MCN, где N будет лежать на продолжении биссектрисы. Он будет равнобедренным, то есть MC=CN.

Благодаря такому построению фигуры ABM и ACN окажутся подобными (в них все три угла попарно равны). Из подобия следует вывод:

AB/AC = BM/CN.

Поскольку CN=CM по построению, то получается искомое выражение, которое и требовалось доказать.

Теорему биссектрис имеет смысл использовать для треугольников с низкой симметрией, поскольку для равнобедренных и равносторонних фигур она очевидна и преобразуется в тривиальное равенство 1 = 1.

Решение задачи

Необходимо найти длину биссектрисы l в равностороннем треугольнике, если известна его сторона a.

Для решения этой задачи следует воспользоваться свойством биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. Отрезок l является высотой и медианой одновременно, то есть можно применить теорему Пифагора.

Конкретно в данном случае решим задачу, воспользовавшись формулой для длины биссектрисы через три стороны:

l = 2/(b+c)*(b*c*p*(p-a))^0,5.

Так как b=c=a и p = 3/2*a, тогда можно записать:

l = 2/(2*a)*(a ² *3/2*a*(3/2*a-a))^0,5 = 1/a*(¾*a ⁴)^0,5 = a*(3)^0,5/2.

Таким образом, биссектриса равнобедренного треугольника является осью симметрии фигуры, поскольку представляет собой и медиану, и высоту. Для нахождения ее длины можно воспользоваться либо общей формулой, либо теоремой Пифагора. Две другие биссектрисы этого треугольника такими свойствами уже не обладают.