Формула нахождения дискриминанта квадратного уравнения

При вычислении точек пересечения квадратичной функции с осью абсцисс требуется решить квадратное уравнение. Нахождение через дискриминант корней тождества является наиболее распространенным способом, но не во всех случаях практичным. Математики разработали специальный алгоритм, позволяющий выбрать оптимальный расчетный метод. Однако для этого нужно изучить теорию.

Оглавление:

• Общие сведения
• Понятие о дискриминанте
• Формула корней
• Теорема Виета
• Примеры решения

Общие сведения

Перед изучением методики нахождения дискриминанта квадратного уравнения нужно ознакомиться с теоретическими основами. Они включают в себя следующие положения:

1. Определение термина.
2. Формула дискриминанта.
3. Соотношения для вычисления корней.

Квадратным уравнением называется некоторая квадратичная функция вида «Wm ² +Qm+P», которая приравнивается к нулевому значению с обязательным наличием второй степени при неизвестной (переменной) величине.

Геометрический смысл квадратичного тождества с нулевым значением — пересечение заданной функции оси абсцисс. Теперь нужно ознакомиться с составляющими квадратного уравнения «Wm ² +Qm+P=0»:

1. W — константа при высшей степени переменной.
2. m — неизвестная величина.
3. Q — постоянный коэффициент при первой степени.
4. P — свободный член.

Следует отметить, что коэффициентов Q и P может не быть. На основании этого уравнения квадратичного вида делятся на следующие два типа:

1. Полные (присутствуют все коэффициенты).
2. Неполные (отсутствует Q и/или Р).

Однако не допускается отсутствие «W», поскольку выражение не удовлетворяет условию квадратичности. Далее необходимо разобрать, что означает дискриминант и как его найти.

Понятие о дискриминанте

Дискриминант — определенная промежуточная величина, позволяющая вычислить значения корней или доказать, что решений не существует. Он обозначается литерой английского алфавита «D» и подставляется в некоторое соотношение. Чтобы найти D, необходимы следующие коэффициенты: W, Q и P.

Формула имеет следующий вид: D=(-Q)^2−4WP. Следует отметить, при отрицательных величинах W и P подстановка осуществляется с исходным знаком. Например, в уравнении «Wm ² +Qm-P=0» значение D вычисляется следующим образом: D=(-Q)^2−4W (-P)=Q ² +4WP.

После нахождения значения дискриминанта можно сразу выяснить, сколько корней имеет квадратичная функция. Для выяснения их количества требуется разобрать три основных условия:

1. Если величина «D» меньше нуля (отрицательное числовое значение), то решения отсутствуют, т. е. перед ней стоит знак «минус».
2. При дискриминанте, который эквивалентен нулевому значению, можно сделать вывод о существовании только одного корня.
3. Переменная может принимать два значения при условии, что дискриминант больше нуля.

Следует отметить, что дискриминант рекомендуется вычислять при любом методе решения уравнения квадратичной формы. Это поможет избежать лишних временных затрат, поскольку можно сразу найти количество корней.

Формула корней

После нахождения величины промежуточного параметра по формуле дискриминанта квадратного уравнения требуется воспользоваться специальной формулой для вычисления корней уравнения (при D=0 или D>0). Математики также рекомендуют для удобства расчетов сразу представить величину «D» в квадратичной форме, т. е. D=16=4 ² .

Далее необходимо подставить значение «D» в следующие соотношения. Они имеют следующий вид:

1. D=0: m=[-Q]/(2W).
2. D>0: m1=[-Q-(D)^(½)]/(2W) и m2=[-Q+(D)^(½)]/(2W).

Следует отметить, что первое соотношение было получено из второй формулы корней. Дискриминант при этом равен нулевому значению и не учитывается. В этом случае можно вывести выражение для нахождения решения самостоятельно, подставив вместо дискриминанта ноль. Формулу «m1=[-Q-(D)^(½)]/(2W)» можно править таким образом: m=[-Q-0]/(2W)=[-Q]/(2W).

Теорема Виета

В некоторых случаях при равенстве единице коэффициента при высшей степени можно воспользоваться теоремой Виета. Она позволяет очень быстро найти решения квадратного уравнения. Такой прием часто применяется в алгебре для оптимизации вычислений.

Формулировка утверждения имеет такой вид: сумма корней квадратичной функции противоположна коэффициенту при переменной в первой степени (-Q), а значение свободного члена «P» эквивалентно их произведению. В математической форме теорема записывается следующим образом:

1. -(m1+m2)=-Q.
2. (m1)*(m2)=P.

Однако бывают случаи, когда очень сложно подобрать значения переменных. Это очень часто происходит при наличии только одного корня или отсутствия решений вообще. Специалисты рекомендуют всегда высчитывать дискриминант, поскольку это позволяет существенно сэкономить время.

Например, на контрольной работе требуется решить 20 уравнений, десять из которых являются приведенными, т. е. W=1. Можно потратить много времени на решение 10 тождеств при помощи теоремы Виета, часть которых может не иметь корней вообще. Для этого необходимо высчитать дискриминант для каждого из них. Он должен показать, какие из них имеют два решения, а какие только одно или вообще не имеют корней.

Следует отметить, что считать D намного проще, чем заниматься подбором значений. После расчетов можно вернуться к уравнениям, имеющим два решения, а затем найти величины переменных посредством подстановки.

Примеры решения

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют самостоятельно составить квадратное уравнение и найти его корни. Методика решения выглядит таким образом:

1. Записать уравнение: 3m ² +2m-1=0.
2. Дискриминант будет считаться таким образом: D=(2)^2−4*3*(-1)=16=4 ² .
3. Величина D>0: всего два решения.
4. Первый корень: m1=[(-2)-4]/6=-1.
5. Вторая переменная: m2=[(-2)+4]/6=2/6=1/3.
6. Проверка: 3*(-1)^2+2*(-1)-1=3−3=0 и 3*(1/9)+2/3−1=1−1=0. Два корня удовлетворяют условию уравнения.
7. Ответ: m1=-1 и m2=1/3.

Далее необходимо разобрать приведенное уравнение «m ² +2m+3=0». Для его решения целесообразно применить теорему Виета. Однако перед этим необходимо вычислить дискриминант, чтобы узнать о существовании корней. Он рассчитывается по такой формуле: D=(-Q)^2−4WP=4−4*3*1=4−12=-8. Результатом вычислений является отрицательное число. В этом случае корней не существует. Если не рассчитывать D, то решение будет находиться таким образом:

1. Записать исходное уравнение: m ² +2m+3=0.
2. Cоставление системы уравнений простого типа: -(m1+m2)=-2 и m1*m2=3.
3. Выразить m1 в первом равенстве: m1=2-m2.
4. Подставить величину, полученную в третьем пункте, во II уравнение: (2-m2)*m2=3.
5. Раскрыть скобки: 2*m2-(m2)^2−3=-(m2)^2+2m2−3.
6. Приравнять к нулю: (m2)^2−2m2+3=0.
7. Сравнить выражение в шестом пункте и первоначальное: они являются разными, следовательно, корни у уравнения отсутствуют.

Далее специалисты рекомендуют рассмотреть функцию «5m ² −15m+10» и найти точки пересечения с абсциссами. Алгоритм нахождения корней выглядит таким образом:

1. Записать квадратичную функцию, приравняв ее к нулю: 5m ² −15m+10=0.
2. Вынести общий множитель: 5 (m ² −3m+2)=0.
3. Сократить обе части на 5: m ² −3m+2=0.
4. Найти дискриминант: D=9−4*2=1.
5. Вычислить корни, воспользовавшись теоремой Виета: m1=1 и m2=2.

Следует отметить, что приведенные уравнения квадратичной формы нужно решать при помощи теоремы Виета. Однако для начала нужно найти величину дискриминанта. На основании последнего пункта (пятого) можно сделать вывод, что функция пересекает ось абсцисс в точках (1;0) и (2;0).

Таким образом, нахождение корней квадратичного тождества через дискриминант позволяет не только вычислить количество корней, но и избежать лишних вычислений, существенно оптимизировав расчетный процесс.