Формула переместительного закона сложения для чисел и векторов

Наукой, которая предшествует математике, является арифметика. Именно на ней учащиеся изучают азы вычитания и сложения. Переместительный закон является одним из основных, его нужно не только выучить теоретически, но и уметь применять на практике. Используя его сложные, громоздкие алгебраические выражения, приводят к удобному виду, что даёт возможность выполнить нужные расчёты не только безошибочно, но ещё и быстро.

Оглавление:

• Общие сведения
• Формулировка и применение
• Сложение векторов
• Примеры решения задач

Общие сведения

Арифметические действия над числами, в результате которых получается их сумма, называют сложением. В математике такую операцию принято обозначать знаком плюс (+). В общем виде формулу складывания представляют как число + число = сумма. Числа по-другому называют слагаемыми. Ими могут быть любые числовые аргументы. Можно сказать, что при сложении происходит увеличение количества первого числа на значение аргумента второго.

Операцию возможно выполнить не всегда, а только если соблюдаются следующие условия:

1. Складываемые числа принадлежат единому множеству, то есть имеют одинаковый тип. Например, пусть есть одна корзина с двумя яблоками, а другая с тремя грушами и тремя яблоками. Так вот, яблоки с яблоками складывать можно, а вот с грушами — нельзя. Сложение с ними возможно, только если их объединить единым словом — фрукты.
2. Прибавление нельзя выполнять, если аргументы стоят под другими действиями. Например, число в квадрате нельзя складывать с другим, пока не будет выполнено действие возведения в степень.

Таким образом, после завершения операции происходит объединение чего-то в одно. Складывать можно как десятичные числа, так и цифры, записанные в любой системе исчисления. Для десятичной, используемой в быту, характерно следующее: ноль является нейтральным числом, поэтому его прибавление не влияет на сумму. А при сложении числа с самим собой происходит удваивание.

Нужно знать, что при действии важно складывать числа начиная с меньшего разряда. При его переполнении лишние цифры переносят в следующий. Например, 126 + 37. Шесть плюс семь даст число тринадцать, согласно правилу, в единицах останется цифра три, а один добавится к десяткам. В итоге, складывая десятки, нужно будет суммировать 2 + 3 + 1. В результате будет сумма 163.

Существует два закона сложения:

1. Переместительный — если слагаемые поменять местами, то есть переместить относительно их знака, то результат не изменится. Математически это можно записать выражением вида: a + b = b + a.
2. Сочетательный — если при суммировании нескольких чисел некоторые из них заменить суммой, то ответ не изменится. То есть, a + b + c = a + k, где k = b + c.

Использование этих правил позволяет порой значительно упростить вычисления. Поэтому переместительный и сочетательный закон сложения необходимо знать. При этом подобные операции используют также при умножении и делении.

Формулировка и применение

Согласно утверждению переместительного закона, от перестановки мест слагаемых сумма остаётся неизменной. На самом деле это понятно и на интуитивном уровне. Действительно, если к двум орехам прибавить пять, то получится семь, в то же время если к пяти прибавить два, снова в ответе будет семь: 5 + 2 = 2 + 5 = 7.

Или взять другой пример с весами. Пусть на весы нужно сложить гири равные одному, трём и пяти килограммам. Не имеет значения, в какой последовательности их уложить на чашу. В итоге измерительная стрелка всё равно покажет девять килограммов. Переместительный закон можно применять к любым числам.

Из рассмотренного закона вытекает и сочетательный. Он гласит, что порядок действия со слагаемыми не имеет значения. В какой-то мере это тот же самый переместительный закон, но только расширенный. Например, нужно вычислить сумму в выражении: 1 + 6 + 19 + 34 + 10. Конечно же, совсем несложно сложить члены и последовательно, как они расставлены в задании, но легче будет всё же их сгруппировать следующим образом: (1 + 19) + (34 + 6) + 10 = 20 + 40 + 10 = 70. Результат будет тот же, что и при последовательном складывании, а вот сами вычисления проще.

Сочетательный и закон перемещения нашли своё применение не только в арифметике, но ещё и в умножении. Опираясь на них, был сформулирован переместительный закон сложения и умножения. Он гласит, что для того, чтобы найти произведение числа и суммы, необходимо каждое из слагаемых умножить на множитель, а затем полученные результаты сложить. То есть при решении нет необходимости выполнять сначала действие в скобке, а после искать произведение. Например, (15 + 42) * 2 = 15 * 2 + 42 * 2 = 30 + 84 = 114.

Этими законами прежде всего необходимо научиться пользоваться на практике. Конечно же, поставленные задания на расчёты можно решать и не прибегая к упрощениям. Но часто такие вычисления не только занимают много времени, но и повышают вероятность возникновения ошибки.

Поэтому перед тем как переходить непосредственно к расчётам, нужно упрощать задание. Например, 224 + 295 + 2 * (156 + 312) + 305 = 224 + 295 + (2*156 + 2 * 312) + 305 = 224 + 295 + 780 + 305 = (224 + 780) + (295 + 305) = 1004 + 600 = 1604. На самом деле при определённом опыте, пользуясь упрощением, даже в уме можно решать примеры, довольно сложные на первый взгляд.

Сложение векторов

Вектором называют любую прямую линию, у которой есть начало и конец. Фактически же это отрезок, имеющий направление. Обозначают его двумя большими буквами, символизирующими начало и конец, или маленькой латинской. Обязательно над символом ставится знак чёрточки или стрелочки.

Вектор используется не только в математике, но и для обозначения различных сил в физике. Если отрезок рассматривается в системе координат, то он задаётся набором своих данных. Поэтому часто любую упорядоченность чисел тоже называют вектором. Это название особенно актуально для информатики. С векторами возможны различные математические действия. Например, их можно складывать и вычитать. По отношению к ним можно также использовать переместительный и сочетательный (ассоциативный) законы.

От произвольной точки на плоскости A можно отложить прямую, ограниченную точкой B. Из первой точки также можно построить другой, непараллельный первой линии отрезок, заканчивающийся точкой D. При этом вектора AB и AD будут равны. Параллельно нарисованным линиям можно провести такие же, то есть построить параллелограмм ABCD. Опираясь на правило треугольника, верно утверждать, что сторона AC равна сумме векторов AB + AD. Аналогично отрезок AC можно найти, сложив вектор AD и DC. Отсюда следует, что сумма AB + AD = AD + DC. Другими словами, a + b = b + a. Что и следовало доказать.

Пусть имеется вектор AB = a. Из точки B можно построить вектор BC, равный b, а от точки C ограниченную прямую CD, равную c. Затем возможно соединить точку D и С, B и D, A и C. Применив правило треугольников, можно записать следующее равенство: (a + b) + c = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD. Верной будет и такая запись: a + (b + c) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD. Следовательно, от перестановки векторов результат не изменяется.

При доказательстве сочетательного закона использовалось так называемое правило параллелограмма, используемое при сложении неколлинеарных векторов. Формулируется оно следующим образом: чтобы сложить векторы a и b, нужно от общей точки отложить два вектора и построить параллелограмм. Тогда вектор, определяющийся диагональю фигуры, равен сумме векторов, совпадающих со сторонами параллелограмма.

Примеры решения задач

Важно не просто понимать законы арифметики, но и уметь их использовать на практике. Для этого необходимо получить опыт самостоятельных решений. Существуют сборники задач, по которым можно прорешать предлагающиеся примеры. Вот некоторые из них, рассчитанные на учеников младших классов:

1. Вычислить выражение в уме: 43 + 28 + 52 + 37 + 2. В силу того, что человеку из-за особенностей мышления проще складывать десятки, чем, например, суммы чисел 7 + 8, 5 + 7, 8 + 3, 5 + 8, то, используя сочетательный закон числа, можно распределить в другом порядке. То есть 43 сложить с 37 и получить в ответе 80, затем к 28 прибавить 52, что даст тоже 80. Теперь останется сложить две цифры 80 и к ним добавить двойку. В ответе получится 162.
2. Вычислить ответ, используя правило сложения: (-1 + 3) + (-18) = -1 + (3 + (-8)) = -1 + (-5) = -6.
3. Не всегда попадаются задачи с целыми числами. К дробным также можно применить распределительный закон. В первую очередь нужно складывать отношения с одинаковыми знаменателями и группировать дроби так, чтобы получалось целое число.1/ 9 + ¾ + ¼ + ½ + 7/9 + ½ = (1/9 + 7/9) + (¾ + ¼) + (½ + ½) = 8/9 + 4/4 + 1 = 8/9 + 2 = 2 8/9.
4. Найти сумму трёх векторов со следующими координатами: a (17; 2), b (12,4), c (3; -61). Для того чтобы найти сумму, по правилу необходимо сложить соответствующие координаты. То есть необходимо выполнить следующее действие (17 + 12 + 3, 2+ 4 + (-61)). Конечно же, в первом члене проще 17 сложить с тройкой, а после добавить 12. Во второй же координате последовательность можно оставить без изменения. В итоге получится, что сумма векторов равняется (32, -55).

Придумать такие задачи можно и самостоятельно. Для дальнейшего успешного применения правил в реальных заданиях обычно достаточно самостоятельно решить около 20 примеров.

Рассмотренные базисные приёмы очень важно понять для дальнейшего успешного изучения математики. Переместительный и сочетательный законы сложения помогают довольно сильно облегчить ту или иную задачу. Используя правила, можно из громоздкой и неудобной к восприятию записи получить простое выражение, которое, возможно, можно будет посчитать даже в уме.