Примеры смешанных дробей в математике для 5 класса

Ученики изучают на уроках математики в 5 классе смешанные дроби и примеры работы с ними. Однако не всегда усваивают теоретический материал, а на практике не могут решать задачи с обыкновенными дробными величинами. Специалисты нашли выход с этой ситуации, предложив специальные алгоритмы для оптимизации вычислений без ошибок. Для их изучения необходимы определенные базовые знания.

Оглавление:

• Общие сведения
• Конвертация смешанного числа
• Приведение к единому знаменателю
• Вычитание и суммирование
• Произведение и частное
• Возведение в степень и корень

Общие сведения

Запись чисел не всегда выполняется с применением целых значений. Иногда величина может выражаться обыкновенными или десятичными дробными выражениями. Первая может преобразовываться во вторую. Допустима также и обратная операция. Следует отметить, что обыкновенные дроби бывают трех типов:

1. Правильными.
2. Неправильными.
3. Смешанными.

Для объяснения различия между ними необходимо записать величину в математической форме «w/v». В первом случае, когда дробное выражение является правильным, его числитель «w» меньше знаменателя «v» (w<v). Если оно считается неправильным, то величина числителя «v» всегда будет больше, чем «w», т. е. v>w. При этом дробное число нужно «превратить» в смешанное.

Смешанной называется обыкновенная дробь, состоящая из целого компонента и дробной части. Она имеет такой вид: 3[2/7]. Следует отметить, что любое дробное тождество обыкновенного вида может быть записано в виде десятичного. Для этого достаточно просто разделить числитель на знаменатель, т. е. ½=0,5.

Кроме того, над смешанными числами можно совершать любые арифметические операции.

К последним относятся следующие:

1. «*" — произведение.
2. «/" — нахождение частного или деление.
3. «+" — сложение.
4. «-" — вычитание.
5. «^n» — возведение в степень.
6. «^(1/n)» — извлечение корня.

Для совершения любой операции рекомендуется преобразовать смешанное число в неправильное дробное выражение. Далее необходимо разобрать подробно методику выполнения этой операции.

Конвертация смешанного числа

Конвертация смешанной дроби в обыкновенную применяется для оптимизации вычислений при выполнении арифметических операций. Она выполняется по следующей методике:

1. Записать величину: С[w/v].
2. Перемножить знаменатель и целую часть, а затем прибавить числитель: (vC+w)/v.
3. Выполнить математические операции по расчету знаменателя, записав окончательный результат.

На практике необходимо разобрать реализацию методики в математике для 5 класса на примере смешанной дроби «3[2/7]". Конвертация выглядит таким образом:

1. 3[2/7].
2. (7*3+2)/7.
3. 23/7.

Однако существует обратная операция по преобразованию неправильного дробного числа в смешанное. Она применяется для решения заданий, в которых нужно записать окончательный ответ. Оставлять его в виде неправильной дроби не рекомендуется, т. к. за это могут снизить оценку. Алгоритм имеет следующий вид:

1. Записать искомое число.
2. Разделить числитель на знаменатель, выделив целую часть.
3. Преобразовать числитель, воспользовавшись формулой: w'=w-vС.
4. Записать результат: w'/v.

Однако при изучении конкретного алгоритма рекомендуется разобрать его на примере. Для этого нужно взять число «23/7», и представить его в виде неправильного дробного тождества:

1. 23/7.
2. С=23/7=3.
3. w'=w-Cv=23−3*7=2/7
4. 3[2/7].

Используя алгоритмы преобразования смешанного числа, можно сравнивать, приводить к общему знаменателю, делить, перемножать, складывать и вычитать дроби, а также возводить в степень и извлекать корень.

Приведение к единому знаменателю

Операцию приведения смешанных чисел к общему знаменателю рекомендуется выполнять только при сравнении, сложении и вычитании.

Существует три способа выполнения этого действия, перед которым обязательно следует конвертировать смешанное число в неправильную дробь.

Методика зависит от знаменателей дробей (w/v и u/z):

1. v/z — целое число, при условии, что v>z.
2. Знаменатели v и z cодержат общие множители.
3. Невыполнение первого и второго правил.

В первом случае приводить дроби к единому знаменателю очень просто. Для этого нужно записать общее значение «v», а над числителем второго выражения — коэффициент «v/z». Выполнить арифметические преобразования, и написать искомое дробное тождество. Математическая форма имеет следующий вид: [w+u*v/z]/v.

Если знаменатели содержат общие множители, то нужно найти наименьшее общее кратное (НОК). Для этого необходимо разложить их на простые множители. Далее требуется выделить один или совокупность общих элементов. Затем перемножить их с сомножителями, которые не повторяются. Полученный результат и будет общим знаменателем.

Однако бывает случай, когда первые два метода применить невозможно. Для получения единого знаменателя достаточно перемножить v и z между собой, записав коэффициенты над числителями «крест-накрест». Математическая запись операции сложения имеет следующий вид: [wz+vu]/(vz). Следует отметить, что вместо суммирования дробных величин, значения можно сравнивать или вычитать друг с друга.

Изучив вспомогательные операции над смешанными величинами (конвертации и приведения к единому знаменателю), можно переходить к методикам выполнения арифметических действий. Сначала следует рассмотреть сумму и разность.

Вычитание и суммирование

Для сложения двух смешанных дробей необходимо руководствоваться определенной методикой. Она имеет такой вид:

1. Преобразовать обе величины в неправильные дроби.
2. Привести к общему знаменателю.
3. Выполнить сложение числителей, записав окончательный результат.

Операция вычитания выполняется по такому же алгоритму, что и сложение. Однако используется знак вычитания, а не суммирования. Следует отметить, что при сложении и вычитании смешанные числа можно не преобразовывать в неправильные дробные выражения при эквивалентности их знаменателей одному значению.

В этом случае методика будет выглядеть немного по-другому:

1. Записать два выражения дробного типа.
2. Отнять из одной целой части другую.
3. Выполнить операцию разности числителей.
4. Написать результат.

Следует отметить, что специалисты рекомендуют сразу ознакомиться с оптимизацией решения. Это значит, что при равенстве знаменателей нет необходимости преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби. Задания должны решаться простыми способами, которые позволяют избежать множества ошибок.

Далее можно перейти к более сложным операциям произведения и деления смешанных выражений дробного типа.

Произведение и частное

Для операций умножения и деления нет необходимости приводить смешанные выражения к единому знаменателю. Арифметические действия выполняются по различным алгоритмам. Методика определения результата произведения выглядит таким образом:

1. Написать смешанные величины.
2. Преобразовать значения в первом пункте в неправильные дробные выражения.
3. Перемножить числители между собой, а затем знаменатели.
4. При необходимости вынести общий множитель, и сократить дробь на него.

Операция получения частного похожа на произведение, но существует некоторая особенность.

Последнюю часто забывают выполнить начинающие математики.

Алгоритм деления смешанных величин имеет такой вид:

1. Записать смешанные значения, и переконвертировать их в неправильные дробные тождества.
2. Поменять местами числитель и знаменатель второй дроби.
3. Выполнить операцию умножения, записав результат.

Следует отметить, что обязательным условием при делении является «переворот» второй дроби, а также замена знака деления «:» на умножение «*". Это правило не нужно забывать, поскольку только его соблюдение позволит решить пример без ошибок. Следующими операциями являются возведение в степень и извлечение корня.

Возведение в степень и корень

Операции возведения в степень и изъятия корня похожи между собой, поскольку последний можно записать в виде первой, которая представлена обыкновенной дробью. Например, кубический радикал (корень) имеет математическую форму записи в виде «(8)^(1/3)».

Если числитель степени имеет величину отличную от единицы, то нужно число возвести в степень при числителе, а затем изъять радикал в знаменателе. Иными словами, (2)^(4/2)=(16)^(½)=4.

Методики возведения смешанного тождества в степень и извлечения радикала похожи между собой.

Алгоритм выглядит следующим образом:

1. Преобразовать смешанное выражение в неправильное дробное.
2. Возвести числитель и знаменатель в заданную степень или извлечь из них корень.
3. Записать результат.

Следует отметить, что после получения результата дробь можно сократить, а затем преобразовать в смешанную. Этот прием является правилом «хорошего тона» в математике. Математическим «этикетом» пользуются во всем мире. Это свидетельствует о том, что каждый ученый приводит свои исследования или расчеты к читабельной форме представления, чтобы его наработками могли воспользоваться и другие специалисты.

Таким образом, при выполнении различных операций над смешанными дробными числами необходимо руководствоваться специальными алгоритмами, а также знать, как производятся операции конвертирования в неправильные дробные формы.