Деление с остатком для примеров в математике 5 класса

Изучение арифметических операций подробно начинается на уроках математики в 5 классе на примерах, а деление с остатком не является исключением. Некоторые ученики не представляют, какой важной для дальнейшего изучения дисциплин с физико-математическим уклоном считается эта тема. Однако сначала требуется рассмотреть теорию, а затем переходить к практическому применению знаний, полученных в процессе обучения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Виды величин
• Методика деления с остатком

Общие сведения

Деление с остатком — разновидность арифметической операции, которая также состоит из делимого и делителя, но результат ее выполнения записывается в виде целой части и некоторого значения. Математическая запись выглядит следующим образом: 4 (+1) или 5 (-1). Следует отметить, что в алгебре встречаются два вида представления результата с остатком:

1. Положительным.
2. Отрицательным.

В первом случае запись имеет такой вид: 36 (+1). Если рассмотреть операцию деления «73/2», то, зная частное и делитель, можно вычислить искомое значение. Для этого нужно умножить частное на делитель, а затем к полученному произведению прибавить остаток, т. е. 36*2+1=73. Положительная форма представления применяется довольно часто и считается наиболее распространенной.

Однако существует и другой вид представления остатка — отрицательный. Его суть заключается в необходимой подстройке частного. Например, для написания компьютерной программы или удобной записи какого-либо параметра физического явления. Например, при делении 71 на 2 результат можно записать в положительной и отрицательной формах, т. е. 71/2=35 (+1) и 71/2=36 (-1) соответственно.

При выполнении обратной конвертации искомая величина не изменяется, т. е. 35*2+1=71 и 36*2−1=71. Иными словами, обе формы представления применяются для удобства записи. Каждый сам определяет тип частного с остатком и использует его в конкретной ситуации.

Математики называют операцию деления обратной умножению, т. е. произведение — делимое, частное и делитель — I и II множители. Не каждое число делится нацело на другое. Чтобы правильно подобрать соответствующий сомножитель, нужно ознакомиться с признаками делимости для двух чисел.

Виды величин

Перед подробным рассмотрением правил делимости одной величины на другую следует разобраться с классификацией чисел. Последние бывают двух типов: простыми и составными. Для идентификации первых необходимо использовать определенный алгоритм, базой которого являются правила делимости. Простые значения имеют одно важное свойство: делителем является единица или эквивалентное значение исходной величине. Например, 13 делится только на 1 и 13.

Составным называется значение, которое может представляться в виде сомножителей, отличных от единицы и самого себя. Например, 12=2*3*2. Для идентификации такого числа также нужны также признаки делимости.

Признаки делимости

Правила делимости — совокупность критериев, указывающих на принадлежность некоторого сомножителя определенному значению. В книге советского математика Виленкина Н. Я., изданной с разрешения ФГОС (федеральных государственно-образовательных стандартов), они подробно описываются. Автор выделяет девять основных критериев деления величины на однозначное число, принимающее значения от 2 до 9:

1. Все четные величины делятся на двойку. Первые заканчиваются только на 2, 4, 6, 8 и 0.
2. Число можно разделить на три, когда сумма всех элементов разрядной сетки содержит делитель, эквивалентный трем.
3. Условие деления на 4: сумма последних 2 цифр делится на это значение.
4. На 5 можно поделить в том случае, когда последний разряд заканчивается на нуль или пятерку.
5. При целочисленном делении величины на шестерку должны соблюдаться второе и третье правила (на 2 и 3, т. к. их произведение эквивалентно шести).
6. Если количество цифр превышает 7, то правило имеет такой вид: выполнить разбивку по три элемента (справа налево), просуммировать компоненты триад и разделить на 7. Когда величина разрядов меньше семи, то критерий формулируется по-другому: отнять от числа без разряда единиц удвоенное значение последнего компонента, а затем попробовать разделить на 7. В обоих случаях частное должно быть целым.
7. Величина делится на 8 только при выполнении сразу первого и третьего признаков (для 2 и 4, т. к. 2*4=8).
8. Частное является целочисленным значением при выполнении операции деления искомого числа на 9, только когда сумма разрядов делителя также делиться на 9 без остатка.
9. На 10 можно разделить величину при условии, что она заканчивается на нуль.

Однако для новичков не все критерии понятны. Для понимания материала нужно разобрать примеры на деление без остатка для 5 класса.

Применение правил

Для первого пункта (деления на двойку) можно привести следующий пример деления 5226 на 2. Частное при операции деления 5226 на 2 является целым числом, т. к. делимое заканчивается на четную цифру. На тройку 5226 делится, поскольку 5+2+2+6=15. Кроме того, 5226 можно также поделить на 4, т. е. 2+6=8.

Пятерка не является делителем 5226, поскольку величина заканчивается на 6. На последнее значение не делится, т. к. сумма компонентов разрядной сетки составляет 15. Чтобы определить делимость на 7, нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Число разрядов меньше 7: 522−6*2=510.
2. Величина 510 не делится на 7, т. к. последняя не является делителем 51 (можно нуль не учитывать).

Следует отметить, что на 8 число 5226 делится, поскольку соблюдаются условия для четверки и двойки. Если сложить все компоненты разрядной сетки, то они не будут нацело делиться на 9, т. к. в сумме дают 15. Кроме того, десятка не является сомножителем 5226. Последнее заканчивается на «6».

Специалисты рекомендуют записать все правила на карточки из плотной бумаги. Далее следует ознакомиться с алгоритмом определения принадлежности числа к простому или составному.

Методика идентификации значений

Многие начинающие математики сталкиваются с проблемой правильной идентификации типа числового значения. Для этих целей были разработаны специальные способы. К ним относятся следующие:

1. Таблицы.
2. Компьютерное программное обеспечение.
3. Ручной метод.

В первом случае в конце каждого учебника находятся специальные дополнения, в которых содержится информация о простых числах в виде табличных данных. Как правило, указываются величины до 1000. Однако при выполнении сложных расчетов (решения различных уравнений, сокращение дробных выражений и т. д) информации в учебнике будет недостаточно. В этом случае математики рекомендуют воспользоваться специализированным программным обеспечением или онлайн-калькуляторами простых значений.

Однако иногда возникают ситуации, когда нет ни учебника, ни компьютера. В этом случае будет полезен алгоритм идентификации числа. Он имеет следующий вид:

1. Написать величину.
2. Определить ее сомножители, используя признаки делимости двух чисел.
3. Если множитель найден, то остановится или продолжить, когда стоит задача о нахождении всех делителей. В противном случае число — простое.

Следует отметить, что специалисты после изучения методики, рекомендуют разобрать ее на практике. Это хороший тренажер для мозга, направленный на приобретение опыта. Реализация алгоритма выглядит следующим образом:

1. Число: 329.
2. На 2: не делится, т. к. последняя цифра нечетная (-).
3. 3: 3+2+9=14 (-).
4. 4: 2+9=11 (-).
5. 5: (-), т. к. 9 не эквивалентна 0 или 5.
6. 6: (-) — не делится на 2 и 3.
7. 7: 32−18=14 (+).
8. 8: (-), т. к. не выполняются условия для 2 и 4.
9. 9: (-) — сумма цифр не делится на 9.

Следует отметить, что алгоритм можно было прервать на седьмом шаге, поскольку делитель уже был найден. Далее нужно перейти к самой методике деления чисел с остатком.

Методика деления с остатком

Очень часто начинающие математики делают много ошибок в задачах на деление с остатком. В 5 классе подробно изучается методика для выполнения этой операции. Она выглядит таким образом:

1. Написать искомое число с делителем, разделив их между собой вертикальной чертой. Далее следует подчеркнуть делитель при помощи прямой линии, под которой и будет записываться результат: 7153/2.
2. Рассмотреть I разряд: 7. Он больше делителя, т. е. 7>5.
3. Разделить I разряд на 5 с выделением целой части: 7/5=1. Записать 1 в графу результата.
4. Перемножить I разряд частного с делителем, записав их произведение под 7: 5*1=5.
5. Осуществить операцию разности: 7−5=2.
6. Снести II разряд, т. к. 2 на пятерку не делится: 21.
7. Поделить 21 на 5 с получением только целой величины: 21/5=4 (записать к частному).
8. Перемножить 5 на 4, а затем отнять их произведение от искомой величины: 21−4*5=1.
9. Снести следующий разряд, поскольку 1<5: 15.
10. Число, полученное на девятом шаге, нацело делится на 5: 15/5=3 (записать в графе результата).
11. Снести последний разряд «1», который остается в остатке. Он не делится на 5. В этом случае нужно поставить нуль в графе частного.
12. Искомый результат, который получается при делении: 1430 (+1).

После выполнения двенадцатого пункта обязательно требуется произвести проверку. Это делается следующим образом: 1430*5+1=7152+1=7153. Последнюю операцию необходимо осуществлять всегда после выполнения любого математического действия. Для тренировки нужно проходить материал, а затем решать задания.

Таким образом, операция деления двух чисел с остатком выполняется по определенной методике, предложенной советским математиком Виленкиным Н. Я. Чтобы к ней перейти, нужно изучить правила деления двух чисел и основные критерии идентификации величин.