Правила сравнения обыкновенных дробей и пример решения задач

В пятом классе изучаются правила сравнения обыкновенных дробей. Однако некоторые ученики не могут понять эту тему, хотя она, на первый взгляд, кажется очень простой. Не всегда получается сравнить оба дробных выражения, так как школьная методика преподносится не совсем верно. Чтобы исправить этот недочет, специалисты разработали универсальный алгоритм, который будет понятен каждому.

Оглавление:

• Математический смысл дроби
• Смешанные дробные значения
• Один делитель
• Эквивалентность знаменателей
• Равенство только числителей
• Разные компоненты

Общие сведения

Для применения правил сравнения дробей обыкновенного вида необходимо изучить базовые понятия. К ним относятся следующие:

1. Математический смысл обыкновенного дробного выражения.
2. Методика работы со смешанными числами.
3. Приведение дробей к одному знаменателю.

Специалисты рекомендуют подробно изучить компоненты, необходимые для реализации алгоритма. Кроме того, нужно не только разобраться в теории, но и самостоятельно решить примеры на практике. Их необходимо придумать, а затем при помощи предложенных методик найти искомый результат. Например, разобрать работу со смешанными дробными выражениями и приведение дробей к единому знаменателю.

Математический смысл дроби

Обыкновенной дробью называется математическое выражение незавершенной операции деления, состоящее из числителя и знаменателя. Термин «незавершенная» понятен не для всех начинающих математиков. Для этого необходимо разобрать математическую запись операции деления. Она имеет такой вид: Q/R=S. Первый элемент — делимое (величина, эквивалентная произведению двух сомножителей), второй — делитель (первый основной множитель числа) и третий — частное (результат операции или II множитель).

Операция деления обозначается двумя символами. Один из них — двоеточие. Его применяют в задачах деления одной обыкновенной дроби на другую. Второе обозначение — косая черта «/". Ее используют практически во всех арифметических операциях. Кроме того, она позволяет представлять значение в виде обыкновенных дробей Q/R, где Q — числитель (эквивалентен делимому) и R — знаменатель (делитель).

Термин «незавершенная» применяется потому, что отсутствует третий компонент — частное. Специалисты делят обыкновенные дробные величины на три вида: правильные, неправильные и смешанные. К первым относятся все значения, для которых выполняется условие Q<R, т. е. числитель всегда меньше знаменателя.

Для неправильной условие выглядит по-другому: Q>R. Следует отметить, что при решении задач в результате всегда должна быть правильная дробь или смешанное число. Это называется упрощением выражения, т. е. любая неправильная дробная величина должна быть преобразована в смешанную. Далее для сравнения дробей в 5 классе необходимо разобрать алгоритм работы с величинами этого типа.

Смешанные дробные значения

Смешанная дробь — дробное выражение обыкновенного вида, содержащее целую часть. Число 4[5/11] является примером этого значения. Для сравнения дробей с разными знаменателями смешанное число требуется преобразовать в неправильное дробное тождество. Для этих целей применяется следующая методика:

1. Записать искомое значение: P[T/S], где Р — целая часть, Т — числитель, S — знаменатель.
2. Сформировать новый числитель по следующему соотношению: Т'=S*P+T.
3. Искомый результат: Т'/S.

Однако специалисты рекомендуют обучаться пошагово, т. е. каждый алгоритм необходимо закрепить на практике. Например, требуется выполнить операцию конвертации 5[7/11].

Решение выглядит следующим образом:

1. 5[7/11].
2. Числитель неправильной дроби: 11*5+7=62.
3. Результат конвертации: 62/11.

Следует отметить, что также существует и обратная операция — преобразование смешанного числа в неправильную дробь. Методика имеет такой вид:

1. Написать дробное значение: Т'/S.
2. Выделить целую часть, поделив T' на S: P.
3. Рассчитать величину числителя по такому соотношению: T=T'-S*P.
4. Записать смешанное число: Р[T/S].

Для практического использования алгоритма преобразования неправильной дроби в смешанное дробное тождество нужно разобрать пример. Его решение имеет такой вид:

1. 62/11.
2. Целая часть: 5.
3. Новый числитель: 62−11*5=7.
4. Результат операции: 5[7/11].

Однако работы со смешанными числами недостаточно для сравнения дробей. Далее необходимо рассмотреть правила их приведения к единому знаменателю. Они необходимы, чтобы понять, какая из дробей больше с разными знаменателями.

Один делитель

Для сравнения дробей с разными знаменателями необходимо рассмотреть еще одно правило. Оно позволяет оптимизировать эту операцию при помощи приведения дробных выражений к единому знаменателю. Существует три случая:

1. Знаменатели перемножаются.
2. Один делится на другой.
3. Вычисление НОК.

Перемножать знаменатели необходимо, когда они не делятся друг на друга и не содержат общих множителей. При этом над числителями необходимо записать коэффициенты, эквивалентные величине знаменателей противоположной дроби. Например, нужно привести к единому знаменателю обыкновенные дроби Q/P и R/T. Результат выполнения операции будет выглядеть таким образом: [QT]/(PT) и [RP]/(PT).

Если Р делится на Т без остатка (нацело), то над числителем первой дроби коэффициент не пишется, а над второй он будет равен Р/Т. Однако в некоторых ситуациях знаменатели содержат общие множители. Следовательно, результирующей величиной будет НОК (наименьшее общее кратное). Оно находится по такому алгоритму для Р и Т:

1. Записываются величины: Р и Т.
2. Число Р раскладывается на множители: Р=р1*t1*p2*t2*p3.
3. Число Т раскладывается на множители: Т=р1*t1*t4*t5*p3.
4. Берутся общие элементы и умножаются на недостающие: НОК (Р;Т)=(р1*t1*р3)*p2*t2*t4*t5.

После нахождения НОК записывается результирующий знаменатель, а над каждым числителем пишется коэффициент, равный частному НОК и величине исходного знаменателя. Далее необходимо перейти к сравнению двух обыкновенных дробей.

Алгоритм сравнения

Операция сравнения двух обыкновенных дробных величин осуществляется при помощи специального математического символа «>". Его «острие» направлено в сторону меньшего элемента, а расширение — к большему. Для демонстрации методик необходимо записать две произвольные дробные величины Q/P и R/T. В математике встречаются всего три случая:

1. Знаменатели эквивалентны, а числители разные, т. е. Р=Т и Q ≠ R («≠" - не равен).
2. Только равенство числителей: Q=T.
3. Разные знаменатели и числители, т. е. Р ≠ Т и Q ≠ R.

Чтобы сравнивать дробные выражения, необходимо проанализировать их числители и знаменатели. Затем необходимо выбрать один из трех случаев, воспользовавшись конкретным алгоритмом. Специалисты рекомендуют записать 3 варианта на лист плотной бумаги в специальную таблицу, указав напротив каждого случая методику решения.

Эквивалентность знаменателей

При равенстве знаменателей одному значению выполнить операцию сравнения довольно просто. Для этого не нужен специальный алгоритм, состоящий из набора правил и действий. В этом случае существует только одно утверждение. Многие ученики не знают, какая дробь больше при одинаковых знаменателях. При этом они делают много ошибок и получают на контрольных плохие оценки.

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться следующим правилом: при сравнении двух дробных тождеств с одинаковыми знаменателями больше та величина, что имеет больший числитель. В этом можно убедиться, решив следующий пример: 7/8 и 4/8. Решение или доказательство утверждения выглядит таким образом:

1. Записать два выражения: 7/8 и 4/8.
2. Перевести их в десятичные дроби: 7/8=0,875 и 0,5.
3. Сравнить числа, полученные на втором шаге: 0,875>0,5.

В третьем пункте утверждение доказывается. Следует отметить, что при сравнении смешанных чисел необходимо сравнивать сначала их целые части. Если одна из них больше, то значит, символ «>" ставится «острием» к меньшему значению.

Равенство только числителей

В случае равенства числителей одному значению и разных знаменателей существует также только одно простое правило. Оно формулируется следующим образом: при эквивалентности числителей больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Чтобы доказать утверждение, необходимо разобрать такой пример: сравнить две величины 4/5 и 4/8. Для его решения требуется перевести дробные числа в десятичные дроби, т. е. 4/5=0,8 и 4/8=0,5. Следовательно, утверждение доказано, поскольку 0,8>0,5.

При сравнении смешанных обыкновенных дробных тождеств необходимо обратить внимание на целые части. Если они равны между собой, то следует воспользоваться правилом эквивалентных числителей. В противном случае сопоставить их целые компоненты, поставив знак больше в сторону большего элемента.

Разные компоненты

При сравнении дробных величин с разными числителями и знаменателями нужно применить специальный алгоритм. Он имеет следующий вид:

1. Записать обыкновенные дроби.
2. При необходимости преобразовать их в неправильные дробные выражения.
3. Привести к одному знаменателю.
4. Сравнить.

Далее необходимо реализовать алгоритм на практике при сравнении двух чисел 4[3/7] и 4[7/11]. Решение выглядит следующим образом:

1. Записать значения: 4[3/7] и 4[7/11].
2. Выполнить операцию преобразования в неправильные дроби: 4[3/7]=31/7 и 4[7/11]=51/11.
3. Привести к единому знаменателю: (31*11)/77=341/77 и (51*7)/77=357/77.
4. Произвести операцию сравнения: 341/77 < 357/77.

Если целые части не равны между собой, то использовать методику нет необходимости, поскольку та смешанная дробь больше, у которой целая часть больше.

Таким образом, сравнение обыкновенных дробей осуществляется по определенным методикам, которые зависят от конкретных значений числителей и знаменателей.