Нахождение простых и составных чисел (математика, 6 класс)

Выявление принадлежности величины в математике (6 класс) к простому или составному числу — задача непростая, когда под рукой нет специальных таблиц или средств вычислительной техники (компьютеров, планшетов, смартфонов) с предустановленным специализированным программным обеспечением. Однако специалисты предлагают уникальную методику, позволяющую решить поставленную задачу.

Оглавление:

• Общие сведения
• Алгоритм идентификации
• Пример решения задачи

Выявление принадлежности величины в математике (6 класс) к простому или составному числу — задача непростая, когда под рукой нет специальных таблиц или средств вычислительной техники (компьютеров, планшетов, смартфонов) с предустановленным специализированным программным обеспечением. Однако специалисты предлагают уникальную методику, позволяющую решить поставленную задачу.

Общие сведения

Для использования алгоритма идентификации чисел нужны определенные знания. Начинать следует с расшифровки терминов. Любое число состоит из набора математических символов, которые называются цифрами. Последние располагаются в специальной разрядной сетке. Следует отметить, что каждый элемент, находящийся в ней, имеет определенное значение: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятитысячи и т. д.

Кроме того, компонент «единицы» всегда будет меньше старшего следующего разряда. Для примера нужно обратить внимание на число 24. Оно состоит из разрядной сетки, которая включает в себя два элемента: единицы — 4 и десятки — 2. Математическая форма записи выглядит таким образом: 2*10+4*1. Однако единица не пишется, поскольку при умножении ее на любое число получается искомое значение.

Специалисты рекомендуют провести тест, показывающий уровень усвоения материала. Для его реализации необходимо написать любое число и разложить его на компоненты разрядной сетки. После того как все операции будут выполняться без ошибок, необходимо переходить к классификации чисел. Они бывают только двух видов:

1. Простые.
2. Сложные.

Простые — числовые величины, которые не имеют множителей, кроме единицы и эквивалентных самим себе значений. Например, 7 делится только на 1 и 7. Сложной называется величина, содержащая множители, отличные от 1 и эквивалентного значения. Следует отметить, что синонимом сложного числа является составное, т. е. эти два термина имеют одну суть.

Можно разобрать для примера число 6. Оно является составным, поскольку его компоненты — двойка и тройка. При произведении последних по таблице умножения Пифагора получается шестерка. В учебнике, авторами которого являются Мерзляк А. Г. и Полонский В. Б., в конце находится таблица составных чисел до 1000. Кроме того, в учебном пособии можно также найти табличные величины простых значений в интервале от 1 до 1000.

Однако на контрольных работах учебники не всегда оказываются под рукой. В этом случае будет полезен алгоритм определения принадлежности величин к одному из типов.

Алгоритм идентификации

Методика — совокупность отдельных шагов, направленных на решение поставленной задачи. Специалисты предлагают специальный алгоритм, позволяющий определить, является число простым или составным. Чтобы им воспользоваться, нужно разобрать подробно критерии деления одного численного значения на другое, которые будут «телом» или основной частью алгоритма.

Следует отметить, что признаки делимости можно применять и на уроках информатики при написании простейших программ на языках программирования, которые изучаются в учебном заведении.

Как утверждают специалисты в области информационных технологий, математика и программирование тесно связаны между собой.

При желании ученик, имея базовые математические знания, может изучать языки программирования самостоятельно. Этот навык пригодится при обучении в высших учебных заведениях. Далее необходимо перейти к изучению самих критериев целочисленного деления двух чисел.

Критерии делимости

Признаки делимости — совокупность правил целочисленного деления одного числа на другое с учетом сомножителей, отличных от 1 и самого делимого. Чтобы не путаться в терминах, нужно записать в математической форме операцию деления (q/p=u), а также разобрать каждый из ее элементов.

Деление состоит минимум из трех компонентов: делимого (q), делителя (p) и их частного (u). Первый элемент является результатом произведения второго на третий. Иными словами, это число, которое нужно поделить на некоторую величину.

Делителем называется целочисленная величина, входящая в состав делимого. Результатом операции называется частное. Последнее является также одним из сомножителей. Математики утверждают, что обратной операцией умножения считается деление, т. е. делимое — это произведение, делитель — I множитель, частное — II сомножитель.

Следует отметить, что величина может делиться на другую с остатком и без него. Критерии делимости работают только для целочисленного деления. Это означает, что частным должно быть только целое число. Признаки делятся на девять основных правил-критериев. К ним относятся следующие:

1. На двойку можно разделить, когда последняя цифра делится на 2, т. е. число является четным.
2. Чтобы поделить нацело на три, нужно сложить все элементы разрядной сетки, а затем их сумму разделить на 3. Результат должен быть целочисленным.
3. Для деления на четверку нужно взять два последних компонента разрядной сетки и поделить на 4.
4. На пять делятся все числа, заканчивающиеся на 0 или 5.
5. Величина, которая делится на шестерку, должна одновременно удовлетворять первому и второму критериям.
6. Число (не более 3 цифр) делится на семь, когда можно взять искомую величину без разряда единиц, а затем от нее отнять двойное значение последнего компонента. При этом результат должен нацело делиться на семерку. Если количество символов превышает 7, то необходимо разбивать значение на триады (по 3 элемента), а затем суммировать группы. В результате сумма должна делиться на искомый делитель.
7. На восьмерку величина делится, когда ее множителями являются четверка и двойка.
8. Если сумма элементов разрядной сетки делится на девятку, то искомую величину также можно поделить на это значение.
9. На десятку можно поделить в том случае, когда последний компонент разрядной сетки эквивалентен нулевому значению.

Специалисты выделяют всего девять основных критериев делимости, на которых основаны правила для других чисел. Например, 14. На него делятся только величины, которые можно поделить без остатка на двойку и семерку.

Специалисты рекомендуют при изучении какой-либо темы по математике сразу придумывать сферы ее практического применения. В результате такого подхода стремление к обучению заметно возрастает. Далее необходимо на нескольких задачах разобрать признаки делимости чисел.

Практическое применение

Применение критериев делимости следует рассматривать на практике. Например, нужно выяснить возможность целочисленного деления 32341454 на 7. Решение задания выглядит следующим образом:

1. Количество разрядов: 8.
2. Необходимо применить метод разбития на триады: |32| |341| |454|.
3. Сложить каждый элемент: 5+8+13=26.
4. Величина «26» не делится на 7.
5. Вывод: значение 32341454 не делится на семерку нацело.

Можно рассмотреть другой пример деления этого же числа на 3. Реализация выглядит таким образом:

1. Написать величину: 32341454.
2. Найти сумму всех элементов разрядной сетки: 26.
3. Число «26» нацело не делится на тройку.
4. Величина, равная 3, не является делителем 32341454.

Специалисты рекомендуют еще разобрать несколько примеров самостоятельно. Для этого нужно придумать значения, а затем попытаться найти их целочисленные делители. После этого они рекомендуют переходить к алгоритму идентификации простого и составного чисел, поскольку знания для выполнения этой операции достаточно.

Методика «простое или сложное»

Для определения типа числа необходимо применить специальную методику. Она состоит из таких шагов:

1. Записать величину.
2. Проверить ее на наличие целочисленных делителей, не учитывая единицу и эквивалентное значение.
3. Сделать вывод: простое — отсутствие множителей или составное — наличие одного из делителей.

Телом алгоритма является второй пункт, который представляет сложную структуру. Она состоит из совокупности критериев — признаков делимости одной величины на другую. Практическая реализация алгоритма «простое или составное» (как его называют некоторые математики) имеет следующий вид:

1. Записать число: 457.
2. Определение делителя: 2 — нет, 3 — 4+5+7=16/3 (нет), 4 — 57/4 (нет), 5 — 7 (нет), 6 — нет, 7 — 45−7*2=21/7 (нет), 8 — нет и на 9 тоже не делится.
3. Вывод: 457 — простое число.

Следует отметить, что выполнение алгоритма прекращается после первого найденного множителя. Последний должен быть отличен от единицы и искомого значения.

Пример решения задачи

В математике встречается определенный тип задач, в которых необходимо найти все множители заданного числа. Например, требуется найти все делители величины 78541, исключив 1 и 78541. Решать задачу нужно по такому алгоритму:

1. Записать число: 78541. Прогнать его по пунктам (каждый соответствует делителю) от 2 до 10.
2. На двойку не делится, поскольку заканчивается на 1.
3. 7+8+5+4+1=25/3 (на тройку не делится).
4. 41/4 (нет).
5. Пятерка не является делителем, поскольку последний разряд эквивалентен единице.
6. Отсутствует положительный результат во втором и третьем пунктах.
7. |78| |541|=15+10=25/7 (нет).
8. На восьмерку не делится, поскольку отсутствуют делители на 2 и 4.
9. Сумма цифр не делится на 9, т. е. 25/9 (нет).
10. Число не заканчивается на ноль.

Следовательно, число 78541 не имеет делителей и является простым. В том случае, когда они будут найдены, результат записывается в такой форме: 78541={делитель1; делитель2; делитель3 и т. д. }.

Таким образом, идентификация простого или составного числа осуществляется при помощи специального алгоритма, который основан на применении правил признаков делимости одной величины на другую.