Формулы для решения линейных уравнений (математика, 5 класс)

Очень часто необходимо находить корни равенств с неизвестными на уроках математики в 5 классе. Формулы уравнений линейного типа применяются как раз для этих целей. Для их решения нужно следовать некоторой методике, которая называется алгоритмом. Однако для этого нужен определенный «багаж» знаний, включающий приведение подобных компонентов и упрощение выражения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Правила раскрытия скобок
• Приведение подобных элементов
• Алгоритм решения задач
• Методика работы с дробями

Общие сведения

Большая часть учебников по математике для 5 класса содержит минимальное количество материала по линейным уравнениям, поскольку тема является несложной. Однако у некоторых учеников, которые не понимают материал или пропустили занятие в школе по какой-либо причине, возникают сложности.

Уравнение — это равенство с неизвестной величиной, принимающей значения, которые удовлетворяют искомому выражению. Иными словами, существует тождество: «2x=8». Оно состоит из константы «2» при переменной «x» и результата выполнения математической операции.

Следует отметить, что «2x» — неизвестная величина, а «8» — известная (ее еще называют постоянной. или константой).

Линейным считается уравнение вида: Ax+B=C, где A — константа при переменной «x», B и C — известные величины. Однако некоторые типы тождеств могут содержать скобки, в которых выполняются операции арифметического типа.

Упрощение выражения — это совокупность математических операций, направленных на уменьшение и оптимизацию тождества. Иными словами, из громоздкого равенства при помощи различных преобразований происходит переход к более простому. Чтобы упростить выражение, необходимо выполнить следующие операции: раскрыть скобки, привести подобные элементы и воспользоваться формулами сокращения величин при нахождении корней уравнения.

Правила раскрытия скобок

В некоторых случаях очередность математических операций сложения и вычитания устанавливается при помощи специальных математических символов для группировки, которые называются скобками. Последние имеют два типа обозначений, а именно: «()» и «[]".

Основные формулы раскрытия скобок:

1. Умножение элемента на сумму (разность) эквивалентно сумме (разности) его произведения на каждый компонент: s*(w+v) = s*w+s*v и s*(w-v) = s*w-s*v, соответственно.
2. Если перед скобкой стоит знак «минус», то величины при этом становятся противоположными числами: -(w-v) = -w-(-v) = -w+v = v-w.
3. Деление суммы (разности) элементов на некоторое число эквивалентно сумме (разности) частных: (w+v)/s = [w/s]+[v/s] и (w-v)/s = [w/s]-[v/s], соответственно.
4. При переносе выражения в другую часть тождества необходимо поменять его знак на противоположный: -(w-v) = 3 или 0 = 3+(w+v).

Четвертое правило используется довольно часто при решении уравнений. При выполнении этой операции многие новички часто делают ошибки, забыв изменить знак на противоположный. Специалисты рекомендуют записать все положения на отдельном листе, положив его перед глазами.

Однако правил раскрытия скобок недостаточно для упрощения выражения с неизвестными величинами. Далее нужно рассмотреть основные положения приведения подобных слагаемых.

Приведение подобных элементов

После раскрытия скобок образуются одинаковые элементы, с которыми можно выполнять различные арифметические операции. Это называется вторым этапом упрощения тождества. Для его применения необходимо знать основные правила работы с одинаковыми элементами уравнения:

1. Величины с противоположными знаками уничтожаются, поскольку в сумме дают ноль: -р+р = 0.
2. Выполнять математические операции сложения и вычитания возможно только с однотипными элементами, т. е. 2x+3x = (2+3)*x. Если компоненты, полученные при раскрытии скобок, не являются однотипными, то их следует записывать отдельно: 2+4x, 4+5x и т. д.
3. Арифметические операции можно производить внутри скобок, т. е. 4*(2x-3x) = 4*(-x).

Следует помнить о переносах компонентов из одной части уравнения в другую, поскольку при этом величина меняет знак на противоположный. Далее следует рассмотреть методику решения линейного уравнения для пятого класса.

Алгоритм решения задач

При решении любой задачи в математике существует определенная методика, позволяющая легко и быстро найти неизвестные компоненты или параметры. Как правило, результат записывается в буквенной или числовой форме. В первом случае решением является определенное выражение в общем виде. В нем присутствуют цифры и буквы.

Когда в условии необходимо вычислить некоторые параметры, следует подставлять числовые значения в выражения для их нахождения. При решении уравнений линейного вида нужно применить следующий алгоритм:

1. Написать выражение с неизвестным.
2. Раскрыть скобки.
3. Привести общие элементы к единым число-буквенным выражениям.
4. Оставить неизвестные величины в левой части тождества, а константы перенести в правую.
5. Вычислить значение корня по такой формуле: t = M/N, где t — переменная величина, М — коэффициент при неизвестном, N — известное значение.
6. Выполнить проверку, подставив найденную величину переменной в искомое выражение.
7. Записать ответ при верном решении.
8. Если результаты не совпадают, то найти ошибку на одном из шагов.

Необходимо привести пример уравнения по математике для 5 класса и решить его. Нахождение переменной будет выглядеть таким образом:

1. Запись искомого выражения: 4*(x-1)-2*(x-2) = 7*(3-x).
2. Раскрыть скобки: 4x-4−2x+4 = 21−7x.
3. Перенести все элементы влево: 4x-4−2x+4−21+7x = 0.
4. Выполнение операций над одинаковыми компонентами уравнения: 9x-21 = 0.
5. Сортировка элементов: 9x = 21.
6. Определение неизвестной по формуле: x = 21/9 = 2[3/9] = 2[1/3].
7. Проверка: 4*(2[1/3]-1)-2*(2[1/3]-2) = 7*(3−2[1/3]).
8. Расчет и сопоставление результатов: 28/3 = 28/3.
9. Ответ: x = 2[1/3].

Cледует отметить, что проверку проводить необходимо в обязательном порядке. Она позволяет понять, что решение выполнено правильно. Кроме того, постоянно следует упрощать любое выражение, а не делать его длинным и неудобными для нахождения корней.

Однако не во всех случаях предстоит решать легкие задания. Некоторые из них могут быть и сложными, поскольку включают дробные выражения. У дробей следует учитывать знаменатель, предварительно приравняв его к нулевому значению.

Методика работы с дробями

В некоторых случаях линейные уравнения могут иметь вид обыкновенной дроби, в числителе и знаменателе которой находится переменная. Если ее нет, то можно сократить левую и правую части выражения, умножив их на число в знаменателе. Для нахождения корней существует определенный алгоритм решения. Он имеет следующий вид:

1. Записать дробное выражение с неизвестным.
2. Разобрать отдельно числитель и знаменатель.
3. Осуществить операцию по нахождению корня в числителе.
4. Проделать то же самое для знаменателя, приравняв его к нулю.
5. Сопоставить корни. Если один из них превращает знаменатель в ноль, то его не следует учитывать при решении.
6. Выполнить проверку, при которой найденная неизвестная величина должна удовлетворять исходному тождеству.
7. Записать результат, исключив нули знаменателя в виде диапазона или неравенства.

Для реализации алгоритма можно решить пример: [3*(t-2)-(2t+2)]/(5-t) = 0. Нахождение корней выполняется по описанной методике:

1. [3*(t-2)-(2t+2)]/(5-t) = 0.
2. Числитель: 3*(t1−2)-(2t1+2) = 0. Знаменатель: 5-t2 ≠ 0.
3. Раскрыть скобки в числителе: 3t1−6−2t1−2 = 0.
4. Привести подобные компоненты: t1 = 8.
5. В знаменателе переменная не должна принимать величину, эквивалентную 5, т. е. t2 ≠ 5.
6. Сделать проверку для числителя, подставив в искомый числитель: 0 = 0.
7. Записать ответ: t = 8.

Следует отметить, что при решении уравнений такого вида может возникать остаток, полученный при сокращении числителя и знаменателя на одно числовое значение. Этого нужно не допускать, поскольку увеличивается время нахождения корней. Всегда нужно сокращать только на целые значения.

Кроме того, при совпадении корня в числителе и знаменателе уравнение решений не имеет, поскольку превращается в пустое множество. Этого также нельзя допускать. Проверку возможно оптимизировать, воспользовавшись специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.

Однако специалисты не рекомендуют на начальных этапах обучения увлекаться различным математическим программным обеспечением. В некоторых случаях также придется вспомнить операции с обыкновенными дробями и смешанными числами.

Таким образом, для решения линейных уравнений при помощи формул нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который основан на упрощении выражения и выполнении различных арифметических операций с подобными элементами.