Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю в 5 классе

Операция приведения дробей к общему знаменателю в 5 классе используется при выполнении сложения и вычитания, а также для упрощения выражений. Делать это позволяет определенная методика, которой следует придерживаться. Она также оптимизирует вычислительный процесс, экономя драгоценное время и уменьшая число ошибок на начальной стадии обучения. Перед ее изучением математики рекомендуют получить базовые знания.

Оглавление:

• Базовая информация
• Признаки делимости
• Работа со смешанными числами
• Приведение к одному знаменателю

Базовая информация

Обыкновенная дробь — значение, состоящее из верхней части (числителя) и нижней (знаменателя). Они разделены чертой. Обыкновенные дробные величины бывают трех типов: правильными, неправильными и смешанными. К первой группе относятся значения, числитель которых меньше знаменателя, ко второй — наоборот. Промежуточным значением является смешанное число. Оно состоит из целой и дробной частей.

Чтобы выполнить арифметические операции сложения и вычитания, нужно привести дроби к общему знаменателю (ОЗ). Последнее математическое действие обусловлено нахождением наименьшего общего кратного (НОК). Для этой операции могут потребоваться:

1. Знание признаков делимости одного числа на другое.
2. Умение переводить смешанную дробь в неправильную.
3. Разложение на множители.
4. Правильно находить коэффициенты для числителей.

Изучение приведения дробей к ОЗ всегда начинается с признаков делимости.

Признаки делимости

Перед ознакомлением с признаками деления чисел нужно внести определенные термины, чтобы учащиеся не путались в правилах. Цифры — математические символы, которые используются для создания чисел. Числа — количественные характеристики, необходимые для выражения фактических данных. У каждого значения существует разрядная сетка (РС). Она состоит из разрядов, именуемых единицами, десятками, сотнями, тысячами и т. д.

Каждую величину возможно разложить при помощи разрядной сетки, т. е. 1941=1000+900+40+1, где 1000, 900, 40 и 1 — разряды тысяч, сотен, десятков и единиц. Как правило, чтение разрядов происходит слева направо.

Признаки делимости — правила, на основании которых одно число (делимое) нацело делится на другое (делитель). Их существует большое количество, но на практике при решении заданий на уроках алгебры применяются следующие:

• 1: числовая прямая всех действительных чисел R (от минус бесконечности до плюс бесконечности);
• 2: первый разряд (единицы) является четным значением;
• 3: сумма цифр РС делится на тройку, т. е. 174/3={1+7+4=12/3=4}=58;
• 4: число, образованное разрядом единиц и десятков, можно разделить на 4. Например, 124/4={24/4=6}=31.
• 5: разряд единиц принимает только значение 0 или 5, т. е. 925/5={5}=185;
• 6: разряд единиц искомого числа эквивалентен четной величине, а также сумма всех элементов РС делится на тройку без остатка. Например: 126/6={6-четное и 1+2+6=9/3}=21;
• 7: сумма произведения элементов РС, начиная с десятков и единиц делится на семерку, т. е. 3584/7={(3*5*8+4/2)/7=126/7=18}=512;
• 8: разряд единиц эквивалентен четной величине, а также должно выполняться условие деления на четверку числа, образованного десятками и единицами. Например, 1248/8={8 — четное} и {48/4=12}=156.
• 9: сумма элементов РС делится на девятку без остатка, т. е. 5238/9={5+2+3+8=18/9=2}=582.
• 10: разряд единиц принимает значение, равное 0. Например, 8950/10={0}=895.
• 11: для двузначных чисел — единицы и десятки эквивалентны между собой два разряда равны между собой (66, 99), а для трехзначных и выше — числовое значение, образованное разрядами десятков и единиц, делится на 11 (165={(6+5)/11=1}).

Для удобства критерии рекомендуется написать на картоне. Далее нужно рассмотреть алгоритм преобразования смешанной дроби в неправильную.

Работа со смешанными числами

Для преобразования неправильной дроби в смешанное число используется определенный алгоритм. Он имеет такой вид:

1. Поделить числитель на знаменатель, выделив целую часть.
2. Перемножить знаменатель и целое значение.
3. Отнять от искомого числителя величину, полученную во втором пункте.

Специалисты рекомендуют после алгоритма разобрать его реализацию на примере дробного выражения 25/3. Правильная методика преобразования выглядит следующим образом:

1. 25/3=8.
2. 3*8=24.
3. 8[(25−24)/3]=8[1/3].

Однако нужно уметь выполнять обратную операцию (проверочную) преобразования смешанного числа в неправильную дробь. Для этого требуется выполнить пункты алгоритма в обратном порядке:

1. 8[1/3].
2. (3*8+1)/3=25/3.

Иными словами, следует умножить знаменатель на целую часть, а затем к результату прибавить числитель.

Приведение к одному знаменателю

Приведение к общему знаменателю — довольно простая операция. Для этого необходимо разобрать все случаи, а также алгоритмы, используемые для этого:

1. Одна величина делится на другую без остатка (делимое и делитель).
2. Знаменатели — простые числа.
3. Состоят из общих множителей.

Для каждого из трех вариантов используются различные методики, позволяющие найти знаменатель дроби, которая является результирующей.

Делимое и делитель

Вариант, при котором одну величину возможно разделить на другую без остатка, является наиболее простым. Алгоритм имеет следующий вид:

1. Если есть необходимость, нужно выполнить операцию конвертации смешанного числа в неправильную дробь.
2. Поделить больший знаменатель на меньший.
3. Написать соответствующий коэффициент над дробью с наименьшим знаменателем, а затем перемножить его с числителем.
4. Записать найденный знаменатель, а затем выполнить арифметическую операцию разности или суммы.

Для реализации алгоритма следует привести дроби 8/20 и 4/5 к ОЗ. Операция осуществляется таким образом:

1. 8/20 и (4*20/5)/20.
2. 8/20 и 16/20.

Если две величины сложить (8/20 + 16/20=24/20), результат нужно преобразовать в смешанное число, т. е. 24/20=1[4/20]=1[1/5].

Простые элементы

Иногда знаменатели могут быть простыми элементами. В этом случае приводить их нужно по такому алгоритму:

1. Перевести в обыкновенные неправильные дроби.
2. Перемножить знаменатели, записав крест-накрест множители над числителями.
3. Общий знаменатель — произведение исходных знаменателей.
4. Перемножить коэффициенты и числители, записав результаты.

Методика называется «крест-накрест». Чтобы понять, когда ее нужно использовать, требуется окончательно убедиться в принадлежности знаменателей к простым числам. Последние делятся только на 1 или равную им величину, т. е. 7/1 и 7/7. Для примера следует решить задачу на приведение дробей с разными знаменателями к общему (3/7 и 2/5). Задание следует решать по такому алгоритму:

1. Правильно узнать знаменатель: 5*7=35.
2. Преобразовать первое дробное выражение: (3*5)/35=15/35.
3. Вторая величина: (2*7)/35=14/35.

Результат выполнения операции преобразования имеет такой вид: 15/35 и 14/35. Суть решения возможно объяснить другими словами: если знаменатели дробей являются простыми числами, то коэффициенты при числителях эквивалентны их противоположным значениям, а результирующий знаменатель — произведение исходных делителей.

Общие сомножители

Иногда следует применить все знания, чтобы привести дроби к знаменателю в 8 классе (дисциплина — «алгебра и начало анализа»), который должен быть общим. Выход из ситуации — нахождение НОК. Операция осуществляется по алгоритму:

1. Разложение знаменателей на простые элементы.
2. Общий знаменатель эквивалентен произведению наименьшего элемента на недостающие сомножители.
3. Поиск коэффициентов для числителей и их перемножение.
4. Запись искомого результата.

Специалисты рекомендуют разбирать реализацию алгоритма на примере. Для этого следует привести 2 дроби 3/8 и 5/12 к общему знаменателю:

1. 8=2*2*2.
2. 12=2*2*3.
3. НОК=8*3=24.
4. Коэффициент для I дробного значения: 3*3/24=9/24.
5. Величина, на которую требуется умножить числитель второй дроби: 5*2/24=10/24.
6. Результат: 9/24 и 10/24.

Для проверки результатов можно воспользоваться специальными онлайн-сервисами. Однако их математики рекомендуют применять только для сопоставления с ответами, полученными при решении ручным методом без использования средств вычислительной техники.

Таким образом, для приведения дробей к ОЗ необходимо знать признаки делимости, а также основные методики выполнения этой операции.