Методика разложения квадратного уравнения на множители

Нахождение дискриминанта не всегда оптимизирует процесс вычисления, поскольку занимает некоторое время. Однако существуют более верные методы решения квадратного уравнения. Разложение на множители — один из них, который не только ускорит нахождение корней, но и поможет при упрощении различных математических выражений, понижая их степень.

Оглавление:

• Общие сведения
• Формулы разложения на элементы
• Корни уравнения
• Алгоритм операции
• Примеры решения

Общие сведения

Квадратное уравнение — математическое тождество, имеющее в своем составе неизвестную величину, которая возведена в квадрат. Специалисты еще называют его квадратным трехчленом вида Pt^2+St+U=0, где t - неизвестная величина (переменная), P и S - коэффициенты при переменных, а U - свободный член.

Однако формулы разложения квадратного трехчлена на множители не во всех случаях бывает эффективным. Чтобы это понимать, нужно рассмотреть классификацию этих уравнений. Они бывают двух типов:

1. Полные.
2. Неполные.

К первому типу относятся тождества с полным набором коэффициентов и неизвестных, т. е. Pt^2+St+U=0. Их раскладывать на множители не рекомендуется. Если S или U эквивалентны нулевому значению, то выражения относятся ко второму виду. Иногда возможно одновременное равенство вышеописанных величин 0. В этом случае уравнение имеет такой вид: Pt^2=0. Однако по определению квадратного многочлена коэффициент при второй степени не может соответствовать 0, т. е. он не считается квадратным.

Неполные также можно классифицировать на два вида: без свободного члена и с его наличием. К первому и второму типу применимы различные формулы сокращенного умножения. Например, первое решается только посредством вынесения общего множителя за скобку, а для решения второго используется соотношение разности квадратов.

Однако не во всех случаях можно рассчитывать на формулы, поскольку большинство сложных заданий требуют выполнения математических преобразований.

Формулы разложения на элементы

Для решения квадратного уравнения применяются соответствующие тождества, позволяющие понижать вторую степень. Запомнить их довольно просто, поскольку количество ограничено несколькими формулами разложения на множители (сокращенного умножения):

1. (t+s)^2=t^2+2ts+s^2.
2. (t-s)^2=t^2-2ts+s^2.
3. t^2-s^2=(t-s)(t+s).

Первое и второе тождества называются квадратом суммы или разности соответственно. Их рекомендуется применять, когда уравнение невозможно разложить на множители. В этом случае следует выделить квадрат суммы или разности, а затем воспользоваться третьей формулой — разностью квадратов. Например, в тождестве 4t^2+4t-3=0 следует выделить квадрат суммы. Для этого нужно выполнить такие преобразования: (4t^2+4t+1)-1-3=(2t+1)^2-4=0. Последнее соотношение также возможно разложить на множители по формуле разности квадратов, т. е. (2t+1)^2-2^2=(2t+1-2)(2t+1+2)=(2t-1)(2t+3)=0.

В других случаях первое и второе соотношение использовать не рекомендуется, поскольку это может привести к увеличению времени и сложности вычислительных операций, что недопустимо для начинающих математиков. При этом количество ошибок возрастает и тратится время.

Разложить на множители квадратный трехчлен — значит представить его в виде отдельных выражений в скобках для оптимизации математических операций через упрощенные тождества.

Однако не всегда возможно воспользоваться вышеописанными тождествами. В этом случае пригодятся знания из алгебры, при помощи которых необходимо упростить выражение. Например, не всегда следует раскрывать скобки и приводить подобные элементы. Следует разобрать на примере уравнения такого вида: (5t-2)(2t+3)-(5t-2)(t-1)=0. Если раскрывать скобки и приводить общие элементы, то это займет некоторое время, т. е. (5t-2)(2t+3)-(5t-2)(t-1)=10t^2+15t-4t-6-5t^2+5t+2t-2=5t^2+4t-8=0. Последнее уравнение нужно решать через дискриминант, а это еще дополнительные расчеты и ценное время, которое может быть потрачено с пользой на другие задачи.

При решении равенства методом разложения на множители вычислительный процесс более оптимизирован, т. е. (5t-2)(2t+3)-(5t-2)(t-1)=(5t-2)(2t+3-t+1)=(5t-2)(t+4)=0. Чтобы решить последнее тождество, достаточно приравнять к нулю его множители, которые являются обыкновенными линейными уравнениями.

Корни уравнения

Перед использованием алгоритма необходимо разобрать, что означает решить уравнение. Если предположить, что существует некоторое тождество, состоящее из некоторых коэффициентов и переменных, то нужно посредством математических преобразований и формул вычислить значения неизвестных, при которых выражение принимает истинное значение. Например, 1=1 - истина.

Корни уравнения — допустимые значения переменных, если их подставить в исходное выражение, результат не изменяется. Следует отметить, что в некоторых случаях могут возникать ложные величины. Это очень часто происходит при решении кубических, биквадратных и других сложных выражений. Однако они могут возникать при решении квадратных двучленов.

Чтобы избавиться от ложных величин, необходимо выполнить единственное правило: подставить их в исходное тождество. Если решение получено графическим методом, то проверку можно не выполнять. Последний метод рекомендуется использовать также для проверки количества решений. Для этого достаточно схематичного построения графика функции, на котором и будут видны корни — точки пересечения с осями координат.

В алгебре можно также встретить задачи на эту тематику. Например, требуется найти точки пересечения двух или трех графических представлений. Однако у графического способа решения есть один существенный недостаток (при точном определении значений переменных) — только для целочисленных значений корней. Его рекомендуется использовать в различных онлайн-приложениях, позволяющих строить графики функций и точно определять точки пересечения.

Следует отметить, что для проверки правильности нахождения корней квадратного трехчлена или двучлена можно использовать также онлайн-калькуляторы, в поля которых вводятся коэффициенты при неизвестных и свободный член. После нажатия кнопки "вычислить" или "найти корни" программа мгновенно выдает результаты. Если какого-то члена в тождестве нет, то в соответствующем поле указывается нулевая величина.

Алгоритм операции

Любое сложное действие рекомендуется выполнять по определенной методике, которая называется алгоритмом. При решении уравнений методом разложения на множители используется такая последовательность действий:

1. Написать уравнение.
2. Проанализировать возможность нахождения корней (выбор метода решения).
3. Упростить уравнение (разложить на множители по одной из формул сокращенного умножения).
4. Выполнить математические преобразования при необходимости.
5. Перенести 0 вправо, а все остальные части — влево.
6. Приравнять каждый из множителей к 0.
7. Найти корни для каждого элемента отдельно.
8. Отсеять ложные значения.
9. Записать окончательный результат.

Второй пункт алгоритма является очень важным, поскольку именно от него зависит правильность и скорость решения уравнения. Последнее должно раскладываться на множители. Вообще суть их решения сводится к их упрощению и приравниванию элементов в левой части к нулевому значению. В некоторых случаях требуется привести подобные слагаемые, а затем подвести результат к определенной формуле сокращенного умножения.

Следует отметить, что восьмой пункт методики — проверка. Однако ее специалисты рекомендуют новичкам выполнять на каждом этапе алгоритма, чтобы избежать ошибок при нахождении корней. Если учащиеся совершают много тренировок, то уже нет необходимости обращать внимание на пункты, поскольку постоянные тренировки делают вычислительный процесс автоматизированным.

Примеры решения

Для начала необходимо решить простое неполное квадратное уравнение t^2-4=0. Корни можно найти по вышеописанному алгоритму:

1. t^2-4=0.
2. Метод решения: разложение по формуле сокращенного умножения.
3. t^2-4=(t-2)(t+2)=0.
4. Выполнять математические преобразования нет необходимости.
5. (t-2)(t+2)=0.
6. (t-2)=0 и (t+2)=0.
7. t1=2 и t2=-2.
8. t^2-4=0: (-2)^2-4=4-4=0 (+) и 2^2-4=0 (+).
9. Решение: t1=-2 и t2=2 (значения записываются в порядке возрастания).

Следующее тождество является более сложным, т. е. 4t^2+28t+40=0. Решается оно посредством вычисления величины дискриминанта. Однако можно рассмотреть вариант понижения степени. Для этого требуется воспользоваться таким алгоритмом:

1. 4t^2+28t+40=0.
2. Выделить полный квадрат: (4t^2+28t+49)-49+40=(2t+7)^2-9=0.
3. Разложить на сомножители: (2t+7-9)(2t+7+9)=(2t-2)(2t+16)=0.
4. Приравнять к 0: (2t-2)=0 или (2t+16)=0.
5. t1=2/2=1.
6. t2=-16/2=-8.
7. Подстановка t1 и t2: 4*1^2+28t+40=32+40=0 (-) и 4*(-8)^2+28t+40=40-40=0 (+).

При решении получено два корня, но это не означает, что при подстановке в исходное тождество они превращают его в истину. Следовательно, t1=1 - ложный корень, поскольку 72 не равно 0.

Таким образом, для решения квадратных уравнений подойдет метод разложения выражения с неизвестными на множители, поскольку эта операция позволит существенно оптимизировать процесс нахождения корней, избежать ошибок и сократить время вычислений.