Правила вычитания дробей с разными знаменателями

Пожалуй, одной из самых популярных арифметических операций в алгебре является вычитание дробей с разными знаменателями. Алгоритм выполнения этого действия несложен и ничем не отличается, по сути, от сложения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Нахождение общего знаменателя
• Алгоритм вычитания
• Решение примеров

Базируется он на основном свойстве отношений, позволяющем домножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Следует отметить, что знание операции позволяет в дальнейшем приводить сложные выражения к простому виду, упрощая вычисления.

Общие сведения

Для того чтобы успешно научиться вычитать дроби, нужно понимать суть термина. В математике под ним понимают число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. Простыми словами, это отношение чего-то к целому. Например, пусть имеется арбуз. Его можно разрезать на равные части, то есть как бы подробить. По факту количество ягоды не изменится. Но если съесть один кусочек, то на тарелке останется три. Количественно в математике это действие можно описать дробью. Для рассматриваемого примера запись будет иметь вид: ¾.

В верхней части цифра обозначает долю от целого, а в нижней — на сколько равных кусков было разделено целое.

Делимое, то есть число, которое изменяется, называют числителем, а делитель — знаменателем. Дробь всегда будет меньше целой части.

В зависимости от соотношения частей, дробные выражения принято разделять на следующие типы:

1. Правильные. Рациональные числа, в которых делимое количественно меньше делителя.
2. Неправильные. Простые выражения, у которых значение знаменателя меньше величины числителя или совпадает с ним по численности.
3. Смешанные. Отношения, состоящие из натурального числа и правильной дроби. Практически они представляют собой их сумму.

Кроме этого, существует ещё отдельный класс выражений, называемый десятичным. К нему относят отношения, в которых знаменатель — это число десять в степени с любым натуральным числом.

Записывают десятичные выражения, используя в качестве разделителя запятую. Например, 1/10 = 0,1.

С дробями, так как по факту это числа, разрешено выполнять любые математические действия. Самые простые из них — это умножение и деление, немного сложнее сложение и вычитание. Чтобы вычитать обыкновенные дроби, нужно знать их основное свойство. Сформулировать его можно следующим образом: если делитель и делимое умножить или разделить на одну и ту же величину, то результат отношения не изменится. Причём такую операцию можно выполнять сколько угодно раз.

Естественно, это не должен быть ноль, иначе выражение потеряет смысл. Например, ¾ = (3 * n)/(4 * n). Это свойство позволяет не только преобразовывать выражение, делая вычисления проще и удобнее, но и выполнять вычитание.

Всё дело в том, что при выполнении действия находят так называемые дополнительные множители, которые можно определить, опираясь на основное свойство.

Нахождение общего знаменателя

Основная сложность, которая может возникнуть при нахождении разности дробей, — это правильное определение общего знаменателя.

В качестве него выступает положительное число, делящееся на делители вычитаемых выражений без остатка. Искомый параметр можно находить как для двух дробей, так и сразу для нескольких.

В простейшем понимании такое число можно получить простым перемножением знаменателей.

Но такой подход будет нерациональным, хотя назвать его в корне неправильным нельзя.

Общее правило для вычисления наименьшего общего знаменателя (НОЗ):

1. Из чисел, стоящих в делимых, выбрать наибольшее и исследовать его на возможность деления с оставшимися. Если такое действие возможно, то выбранное значение и будет НОЗ. В ином случае переходят ко второму пункту.
2. Наибольший знаменатель умножают на два и проверяют делимость полученного числа на все остальные.
3. На этом шаге наибольший знаменатель умножают на три и повторяют проверку.
4. Если НОЗ не найден, делители раскладывают на простые множители. В результате повторяющиеся числа убирают, а оставшиеся перемножают. Получившееся произведение и будет НОЗ.

Таким образом, чтобы найти нужный знаменатель, необходимо уметь раскладывать простые числа на множители. Эта операция является тождественным преобразованием. Выполняется она в несколько этапов.

Сначала ищется наименьшее число, на которое можно разделить исходное без остатка. Затем выполняют деление и повторяют действие, но уже для полученного значения. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Понять процедуру проще на примере. Пусть нужно выполнить вычитание двух дробей, у которых в знаменателях стоит 15 и 40. Следуя алгоритму, нужно наибольшее из этих чисел умножить на два и попробовать выполнить деление. В ответе получится число 80, которое на 15 разделить без остатка невозможно. Поэтому можно попробовать выполнить умножение на три: 40 * 3 = 120. Полученное произведение можно разделить на 15, в ответе будет восемь. Значит, 120 и будет искомым общим знаменателем.

Это значение можно было найти и пойдя путём разложения. Так, 15 можно представить как 5 * 3, а 40 в виде произведения 2 * 2 * 2 * 5. При сравнении записей видно, что и в первой, и во второй стоит цифра пять. Поэтому в одной из них её нужно убрать, а оставшиеся члены перемножить: 3 * 2 * 2 * 2 * 5 = 120. Ответ идентичен.

Алгоритм вычитания

Следует отметить, что сложение и вычитание дробей выполняется по одинаковому алгоритму. Единственное отличие в арифметическом знаке действия. Если нужно из одного дробного выражения вычесть другое, рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

• если в многочлене стоит смешанная дробь, то преобразовать её в неправильную;
• исследовать вычитаемое и уменьшаемое на возможность упрощения;
• найти наименьшее общее кратное среди знаменателей;
• вычислить дополнительные множители;
• домножить числители на найденные для них значения;
• записать в знаменатель НОЗ, а в числитель разницу произведений делимых;
• при возможности сократить дробь;
• привести ответ к виду смешанного числа в случае получения неправильной дроби.

Как можно заметить, алгоритм простой. Но может возникнуть вопрос по нахождению дополнительных множителей, несмотря на то что действие относят к простым операциям. После того как найден общий знаменатель, нужно делитель вычитаемого и уменьшаемого разделить на это число. Полученные значения и будут являться искомыми аргументами, предназначенными для домножения.

Кроме этого, необходимо обратить внимание на вычитание дробей разного типа. Чтобы правильно их вычесть, желательно вначале выполнить преобразование. Смешанное выражение можно довольно просто представить в виде неправильного числа. Для этого следует умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению добавить делимое. Затем результат сложения записать в числитель, а знаменатель оставить неизменным.

Существует и другой путь, обратный, то есть неправильную дробь превратить в смешанное число. Для этого числитель нужно разделить на знаменатель. По результату операции остаток записывают в делимое, а делитель оставляют без изменения. Целую же часть прибавляют к дробной. После того как два числа будут смешанными, алгоритм вычитания немного изменяется. Так, целые части вычитают отдельно от дробных чисел, а затем результаты просто складывают.

Какой алгоритм использовать для того, чтобы отнять дроби друг от друга, не принципиально. Всё дело в привычке и навыках решающего.

Но, пожалуй, способ, заключающийся в переводе смешанного числа в неправильное выражение, проще. Другой же метод лучше использовать, когда надо вычесть из целого числа дробное или же наоборот.

​

Решение примеров

Чтобы научиться правильно вычитать дроби с разными знаменателями, нужно самостоятельно решить несколько задач. Обычно хватает проработать порядка пяти примеров, чтобы получить необходимый опыт. Вот некоторые наиболее интересные задания:

1. Вычислить разницу: (4 / 7) — (2 / 21). Придерживаясь алгоритма, вначале нужно найти общий знаменатель. Число в вычитаемом можно разделить на делитель уменьшаемого без остатка. Поэтому оно и будет искомым выражением. Далее, для первого члена дополнительным множителем будет 21: 7 = 3, а для второго 21: 21 = 1. Значит, решение примет следующий вид: (4 / 7) — (2 / 21) = ((3 * 4) — 2) / 21 = 10 / 21.
2. Определить результат действия: 4 (1 / 3) — 1 / 7. Перед началом выполнения вычитания нужно смешанную дробь привести к неправильному виду, а уже после действовать по алгоритму. Итак, 4 (1 / 3) = ((4 * 3) + 1) / 3 = 13 / 3. Отсюда (13 / 3) — 1 / 7 = ((7 * 13) — (3 * 1)) / 21 = (91 — 3) / 21 = 88 / 21. Полученный ответ нужно представить в виде смешанного выражения: 88 / 21 = (4 + 4 * 21) / 21 = 4 (4 / 21).
3. Сравнить два выражения по модулю: 4 / 5 — 12 / 4 — 4 (5 / 6) и 11 — 3 (1 / 3) + 8 / 7. Чтобы определить, какое из них больше, необходимо выполнить действия. Первый многочлен будет равен: 4 / 5 — 25 / 4 — 4 (5/6) = 4 / 5 — 12/ 4 — (4 * 6 + 5) / 6 = 4 / 5 — 25 / 4 — 29 / 6 = ((12*4) — (15 * 25) — (29 * 10)) / 60 = (48 — 375 — 290) / 60 = - 617 / 60 = -(17 + 10 * 60) / 60 = -10 (17 / 60). Второе выражение можно вычислить так: 11 — 3 (1 / 3) — 8 / 7 = 11 — 3 + 1 / 3 — 8 / 7 = 8 + 1 /3 — 8 / 7 = 8 + ((1*7) — (8 * 3)) / 21 = 8 + (7 — 24) / 21 = 8 — 17 / 21 = (8 / 1) — (17 / 21) = (168 — 17) / 21 = 151 / 21 = 74 / 21. Полученные ответы нужно сравнить без учёта знака. Поэтому можно утверждать, что первое выражение будет больше второго.

Таким образом, отнимать дроби с разными знаменателями не так уж и сложно. Нужно просто найти общий знаменатель, дополнительные множители и выполнить вычитание. При этом следует упомянуть так называемые онлайн-калькуляторы. Это веб-сервисы, которые в автоматическом режиме выполняют вычитание.

Их довольно удобно использовать не только для проверки самостоятельно решённых примеров, но и на стадии обучения.

Всё дело в том, что, кроме быстрого решения, эти сайты могут предоставить пользователям подробные решения того или иного примера.