Сочетательное свойство и законы умножения для 5 класса

Арифметические операции произведения, сложения, вычитания и деления применяются в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. У каждой из них существуют определенные законы, позволяющие оптимизировать процессы вычисления. Для сложения и произведения следует применять распределительное, переместительное и сочетательное свойства умножения или сложения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Базовые правила
• Пример решения

Общие сведения

Для удобства описания арифметических операций следует ввести буквенные обозначения. Пусть первый коэффициент эквивалентен переменной «о», второй — «р», а результат — «r». К базовым арифметическим действиям относятся:

1. Сложение.
2. Вычитание.
3. Умножение.
4. Деление.

Сложение (+) — операция, увеличивающая исходное число на некоторое значение. Выражение состоит минимум из 3 коэффициентов, т. е. о+р=r. Первый и второй (о и р соответственно) называются слагаемыми, третий — суммой r.

Вычитанием (-) называется арифметическая операция, состоящая из уменьшаемого значения и вычитаемого, результатом которой является разность. Математическая запись имеет такой вид: о-р=r, где о — уменьшаемое, р — вычитаемое, а r — разность.

Третьей операцией является умножение (*), состоящая из коэффициентов, которых может быть более 2: первый и второй — множители, а третий — произведение. Операция записывается таким образом: о*р=r. Кроме того, существует краткая запись, при которой знак «*" не указывается, т. е. ор=r.

Деление (:) — арифметическая операция, позволяющая разделить одно число на другое. Математически она записывается следующим образом: о: р=r («о» — делимое, «р» — делитель и «r» — частное).

Следует отметить, что у каждой операции может быть и другое количество коэффициентов. Например, o*p*s*t=r, где o, p, s, t — множители, а r — результат. Однако при решении задач применяются некоторые законы, существенно оптимизирующие вычисления.

Базовые правила

При вычислении значения выражения математики рекомендуют применять определенные правила. Их можно комбинировать между собой. Эта методика позволяет сократить время на расчеты, а также тренирует мозг, при помощи которого появляется возможность выполнять сложные вычисления в устной форме. Кроме того, законы справедливы для любой арифметической операции.

Методы сложения

Для начала следует рассмотреть основные правила сложения. Они основываются на раскрытии скобок выражения, состоящего из нескольких слагаемых. К ним относятся сочетательный и переместительный. Первый закон можно сформулировать следующим образом: если 2 числа, находящиеся в скобках, связаны операцией сложения, при прибавлении к ним третьего значения можно сложить его с первым, а затем со вторым. Математическая форма записи приобретает такой вид: (о+р)+k=(о+k)+p. Возможна и такая запись: (о+р)+k=(р+k)+о.

Переместительный закон имеет такой вид: от перемены мест слагаемых величина алгебраической суммы не меняется. Математически запись выглядит так: о+р+k=р+k+о=р+о+к=к+о+р=к+р+о. Кроме того, существуют 2 следствия, на основании которых можно существенно сократить объем вычислений:

1. Если слагаемые эквивалентны между собой, тождество можно записать в виде произведения одного элемента на их количество, т. е. к+к+к+к+к=5к.
2. Нуль не учитывается при сложении.

Следующей операцией является вычитание. У него также существуют некоторые очень важные свойства.

Свойства вычитания

При выполнении арифметической операции вычитания специалисты рекомендуют придерживаться основных законов. К ним относятся следующие утверждения и формулы:

1. Если из произвольного «к» вычесть нулевое значение, результат будет эквивалентен этому числу. При вычитании из 0 числа «к» получается отрицательное число, равное величине с противоположным знаком, т. е. 0-к=-к.
2. Разность двух одинаковых чисел соответствует 0, т. е. к-к=0.
3. Если вычитаемое представлено суммой двух чисел, можно вычесть из уменьшаемого первое слагаемое, а затем второе, р-(о+к)=р-о-к.
4. Когда уменьшаемое записано в виде суммы, следует из первого слагаемого вычесть вычитаемое и к результату прибавить второй элемент суммы, т. е. (р+о)-к=р-к+о.

Этих правил будет достаточно для выполнения вычислений любого типа. Кроме операций сложения и вычитания, существуют более сложные арифметические действия.

Умножение и деление

Изучаются законы умножения в 5 классе. Они состоят из следующих формул и утверждений:

1. Результат умножения любой величины на нулевое значение равен 0.
2. Если умножить число на 1, получится оно же, т. е. к*1=к.
3. Переместительный закон произведения: при перемене мест множителей произведение неизменно, т. е. к*р*о=к*о*р=р*о*к=р*к*о=о*к*р=о*р*к.
4. Сочетательный закон умножения (ассоциативный): если количество множителей в выражении больше 2, можно перемножить 1 и 3, а затем их произведение использовать при расчетах, как второй множитель, т. е. (5*3)*2=(5*2)*3=10*3=30.
5. Распределительный: при умножении некоторого числа на сумму нужно умножить его на первое слагаемое и на второе, а затем сложить 2 величины, т. е. к (р+о)=кр+ко.

Наиболее сложной операцией является деление. У нее также есть некоторые важные свойства:

1. На 0 невозможно делить.
2. Если нуль разделить на произвольное значение, получится 0.
3. При делении на 1 получается первоначальное значение, т. е. к/1=к.
4. Переместительный закон: к/р/о=к/о/р.
5. Сочетательный: (к/р)/о=к/(р/о).

Следует отметить, что при использовании правил, нужно постоянно контролировать выполнение условия неравенства делителя 0. В противном случае тождество будет пустым множеством. Последняя тема изучается в высших учебных заведениях.

Пример решения

Для качественного усвоения материала нужно вычислить значение выражения, используя законы арифметических операций. Тождество имеет такой вид: [5*2*3*6*2+2*3*9*5+2 (о+р)-(р+2о)-(р+2)]/[(2*16*5−7*8)-2 (p-o). Для решения следует руководствоваться алгоритмом:

1. Расчет 5*2*3*6*2, используя ассоциативный закон: (5*2)*(3*2)*6=10*(6*6)=10*36=360.
2. Вычисление 2*3*9*5: (2*5)(3*9)=10*27=270.
3. Раскрытие скобок (распределительный): 2 (о+р)-(р+2о)-(р+2)=2о+2р-р-2о-р-2=-2.
4. Вычисление величины знаменателя, который не должен быть равен 0: 2*16*5−7*8−2 (р-о)=(2*5)*16−56−2р+2о=160−2р+2о.
5. Запись результата: [360+270−2]/[160−2р+2о]=628/[160−2р+2о].

Пример наглядно показывает оптимизацию вычислений, которые возможно произвести без помощи калькулятора.

Таким образом, формулы и утверждения для операций умножения, деления, сложения и вычитания используются для ускорения вычислений.