Правила вычитания десятичных дробей и примеры решений

Арифметические действия относятся к элементарным операциям алгебры. Одним из важных умений является вычитание десятичных дробей. Этот навык используется не только в классических вычислениях, но и при изучении высшей математики. Понимая суть и зная алгоритм, можно громоздкое, сложное к восприятию выражение преобразовать к простому виду, что поможет правильно и быстро найти ответ.

Оглавление:

• Общие сведения
• Подготовка выражений
• Правило вычитания
• Примеры с подробным решением

Общие сведения

Под дробью в математике понимают выражение, состоящее из одной или нескольких долей. При этом число частей должно быть одинаковым. С помощью дроби выражается определённое количество от целого рационального числа. Существуют 2 вида формата записи:

• классический (обыкновенный);
• десятичный.

В первом виде используется горизонтальная черта. Над ней ставится число, называемое числителем или делимым, а под ней — знаменателем (делителем).

Часто вместо горизонтальной черты ставится наклонная. Например, 3/41. В десятичном формате используется запятая. В нём дробь выглядит так: 56,9; 7,890.

Вторая запись в некоторых случаях более удобная чем первая, но это одно и то же. Например, 2,8 = 28/10; 0,34 = 34/100. Переход с одной формы в другую выполнить просто. Сначала записывают целую часть, а потом ставят запятую и пишут числитель дробной. Место для запятой находят путём отсчитывания количества нулей справа налево. Таким образом, можно преобразовать любую обыкновенную дробь в десятичную, которая в этом случае будет иметь конечное число знаков после запятой либо будет периодической.

Вычитание — это операция уменьшения. Ответ, получаемый после выполнения действия, называют разностью или остатком. При этом из одного числа (уменьшаемого) забирают число единиц равное другому числу (вычитаемому). Для записи действия используют знак минус. Ставят его между уменьшаемым и вычитаемым. Например, 3 — 0, 7 = 2,3. Читается эта запись так: «разность трёх и ноль целых семи десятых равняется двум целым и трём десятым».

Дроби — это обыкновенные числа, поэтому с ними можно выполнять такие действия, как сложение, вычитание, деление и умножение. Но из-за того, что в записи дробей существует знаменатель, отнимать от них десятичные дроби немного сложнее, например, чем однотипные числа. Хотя используемые для этого правила и алгоритмы, в общем, одинаковые.

Выполнять вычитание возможно между любыми типами дробных выражений. Но для этого нужно привести их к одному виду. Например, смешанную дробь преобразовать в неправильную, натуральное число представить, как дробь и так далее. При этом удобнее использовать одинаковый тип записи.

Подготовка выражений

Основной операцией при вычитании, как и складывании, является нахождение общего знаменателя. Это важное действие, без знания которого невозможно правильно вычислить ответ. Наименьшее значение знаменателя находят путём вычисления общего кратного (НОК). Для этого делители выражений раскладывают на простые множители.

Например, если в одном выражении знаменатель равен десяти, а во втором 54, то разложение будет иметь следующий вид: 10 = 2*5; 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Затем нужно одинаковый простой множитель убрать, а оставшиеся перемножить: НОК (10, 54) = 2* 3 * 3 * 3 * 5 = 270. Произведение и будет искомое число.

После нахождения НОК полученное число необходимо разделить на каждый знаменатель, а затем результат умножить на числитель. Например, 1/10 — 3/54 = 27/270 — 5/270. С полученным выражением дальше уже можно будет выполнять действие вычитания по правилам. Очевидно, что при одинаковых знаменателях нахождение наименьшего кратного выполнять не нужно. Им уже и так будет значение, стоящее в делителе.

При решении не стоит забывать о возможности сокращения дробей. Выполнить упрощение можно, основываясь на свойстве дробных выражений. Согласно ему, числитель и знаменатель каждой дроби многочлена можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число. Например, 2/10 = 1 / 5 = 20 / 20. Кстати, это свойство также используется и при нахождении общего множителя.

При записи десятичной дроби с использованием запятой нужно знать, как выполняется операция вычитания столбиком. Правило упрощения здесь неприменимо.

Если правило вычитания в столбик сложно применить из-за громоздкости записи, стоит задуматься о преобразовании формата записи. Сделать это можно за несколько шагов:

• представить заданное выражение как число, делённое на единицу;
• умножать делитель и делимое новой дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не пропадёт запятая;
• сократить при возможности дробь (разделить числитель и знаменатель на одно и то же число).

Например, 34,5 = 34,5/1 = 3,45/10 = 345/100 = (345: 5)/(100: 5) = 69/20. Следует отметить, что если в десятичной записи выражения стоит знак «минус», перед полученной после преобразований неправильной дробью тоже должен стоять «минус».

Правило вычитания

Процесс минусования десятичных дробей сводится к нахождению разности выражений. Так как применяются 2 формы записи, существуют и разные правила, применимые только к тому или иному виду. Операция вычитания для дробных выражений, записанных с использованием запятой, сходна с аналогичным действием для натуральных чисел. Единственное отличие — необходимость правильно поставить запятую в полученной разности.

Чтобы выполнить вычитание, нужно придерживаться алгоритма:

• под уменьшаемым записать вычитаемое, чтобы запятые членов находились строго друг под другом;
• с помощью нулей выравнять количество разрядов после запятой в уменьшаемом или вычитаемом;
• выполнить отнимание чисел, находящихся друг под другом, не обращая внимание на запятую;
• поставить запятую в разности строго под уже стоящими.

Если нужно отнять меньший разряд от большего, выполняется заимствование десятка со старшего, а при вычитании большего числа из меньшего результат получается отрицательный. Приведённый алгоритм можно использовать, если нужно вычесть десятичную дробь из натурального числа.

При вычитании дробей, записанных в классической форме, используют своё правило уменьшения. Операция возможна, если в знаменателях выражений стоит одна и та же величина. Для этого в случае необходимости находится НОК. Затем общий знаменатель записывают как делитель в разности, а в числитель ставят результат вычитания делимых, умноженных на дополнительные множители. В виде формулы правило можно записать так: a / b — c / b = (a — c) / b.

В задачах не всегда приходится вычитать десятичную дробь из десятичной. Вместо уменьшаемого или вычитаемого, может стоять и смешанное выражение. Чтобы выполнить уменьшение, понадобится смешанную дробь привести к неправильной, а после выполнить действие. Например, 3 1/5 — 27/10 = ((3 * 5 + 1) / 5) — (27/10) = (16/5) — (27/10) = 59/10.

В каком виде лучше выполнять минусование, зависит от исходных данных и личного предпочтения решающего. Пожалуй, выполнять вычитание десятичных дробей методом столбик проще, так как не нужно искать дополнительные множители, а значит, делить и умножать тоже не придётся.

Примеры с подробным решением

Решение практических примеров лучше всего помогает закрепить полученные знания. Существуют даже специальные сборники математических задач. Они интересны тем, что содержат различные примеры, затрагивающие все возможные случаи, когда нужно минусовать десятичные выражения. Прорешав самостоятельно примеры, можно утверждать о доскональном понимании темы и переходить к изучению следующего раздела математики.

Вот некоторые из типовых заданий, попадающихся в сборниках:

1. Найти разность выражения: 2,452 — 1,23. Так как оба члена многочлена заданы в десятичном виде, для решения задачи нужно использовать метод столбик. Согласно алгоритму, необходимо записать сначала число 2,452, а под ним 1,23. После тройки следует поставить цифру ноль для выравнивания разрядности. В итоге понадобится выполнить следующие вычисления: 2 — 0; 5 — 3; 4 — 2; 2 — 1. После выполнения вычитаний в ответе получится число 1222. Руководствуясь правилом, нужно снести запятую и поставить её между единицей и двойкой. Окончательный ответ будет: 2,452 — 1,23 = 1,222.
2. Вычислить ответ: 27/10 — 2/8. Перед тем как приступить к вычислению второй член можно упростить. Для этого числитель и знаменатель можно разделить на 2. В результате получится выражение: 27/10 — ¼. Здесь правило, как вычитать десятичные дроби столбиком, не поможет, поэтому нужно искать НОК. Для решаемого примера он будет равен 20. Теперь нужно найти дополнительные множители и вычислить ответ: 27/10 — ¼ = (2*27)/20 — (5 * 1)/20 = (54 — 5)/20 = 49/20 = 2 9/20.
3. Найти результат вычитания: 4,5 — 3/10 — 2 1/5. Пример содержит члены, записанные в разных формах. Для решения нужно привести их к одному типу записи и решить многочлен комплексно или выполнять действия поочерёдно. Например, 4,5 — 3/10 можно переписать как 4,5 — 0,3. Затем выполнить вычитание в столбик и получить ответ, равный 4,2. Полученный результат преобразовать в классическую дробь, а смешанную в неправильную: 42/10 — 11/5. После нахождения дополнительных множителей должен получиться ответ: 42/10 — 11/5 = 20/10 = 2.

Используя правила вычитания, можно и складывать десятичные дробные выражения. Принципиальное отличие заключается только в знаке. Там, где по алгоритму нужно уменьшать, при сложении понадобится складывать. Вот и всё различие.