Как находить в 6 классе взаимно простые числа и что это такое

Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа. Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы. Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.

Оглавление:

• Общие сведения
• Делимость чисел
• Свойства и определение
• Таблица и примеры

Общие сведения

В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر‎, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:

1. Всего существует 10 цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Из десяти символов формируют числа.
3. Цифры — это знаки, а числа — абстракции, обозначающие количество.

Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.

По своему виду числа бывают:

• натуральными — простыми целыми, использующимися при счёте;
• рациональными — конечными дробными отношениями;
• иррациональными — бесконечными непериодическими дробями;
• действительными — образующими множество, включающее рациональные и иррациональные значения.

Кроме этого, их разделяют на положительные и отрицательные. Перед последними при записи ставят знак минус.

Часто при вычислениях используют округление. Это запись, при которой указывают примерное значение. Округляют значение путём убирания десятичных частей или уменьшением их разрядности. Например, 5,17 ~ 5; 4,5213 ~ 4,5. Благодаря этой операции вычисление упрощается, хотя при этом теряется точность ответа.

Делимость чисел

Разбирая взаимно простые числа в 6 классе, пристальное внимание уделяют понятию «делитель». Под ним имеют в виду величину, на которую можно разделить величину без остатка. Если разные значения возможно поделить на одно число, делитель называют общим. Например, для 36 и 18 им является 6.

В свою очередь, общий делитель может быть наименьшим и наибольшим (НОД). Чтобы найти НОД, нужно выполнить простую последовательность действий:

1. Каждое число разложить на произведение простых множителей.
2. Определить все степени для этих множителей.
3. Выделить одинаковые множители, которые являются и делителями рассматриваемых чисел.
4. Найти наименьшую степень для каждого из них, встретившуюся во всех произведениях.
5. Выполнить перемножение степеней.

Простыми называют натуральные числа, имеющие только 2 положительных делителя, поэтому можно утверждать о взаимной простоте любых таких чисел. Пара значений необязательно должна быть простой, чтобы быть взаимной. Либо одно из них, либо сразу оба могут относиться к составному типу и при этом быть взаимно простыми. Следует отметить, что составными называют выражения, превышающие единицу, имеющие 3 и более положительных делителя.

Свойства делимости:

1. Любое целое выражение можно разделить на само себя, отрицательное значение, равное по величине и на плюс или минус единицу.
2. Ноль можно разделить на любое значение.
3. Если одно значение делится на другое и получается только целая часть, будет справедлива следующая запись: если a / b и, |a| <|b|, то a = 0.
4. Для единицы существует только 2 делителя — единица и минус единица.
5. Чтобы целое A делилось на целое B, достаточно, чтобы модуль A можно было разделить без остатка на модуль B.
6. Для любого целого и отличного от нуля выражения B найдётся такое значение A, неравное B, которое будет делиться на B.
7. Если 2 слагаемых A и B можно поделить на целое, сумму A + B возможно будет поделить на C без остатка.
8. Если целое A делится на целое B, произведение A на произвольное целое C будет делиться на B.

Кроме этого, делимость обладает транзитивностью и асимметричностью. При этом существует следствие, согласно которому, если целое A делится на целое B, то и −A будет делиться на B.

Свойства и определение

Существует правило, объясняющее, какие числа называются взаимно простыми. Согласно ему, это 2 целых натуральных значения, у которых самый большой общий делитель не превышает единицу. Из этого правила следует, что 2 таких выражения будут иметь только лишь один общий делитель, при этом равняться он будет единице. Например, можно рассмотреть 5 и 11. Разделить их без остатка можно или самих на себя или единицу.

Понятие взаимности простых чисел справедливо как для пары выражений, так и большего их числа. Два натуральных числа, стоящие один за одним, всегда будут взаимными. Например, 13 и 14 — простая пара, такая же как 23 и 24.

Это легко можно доказать, используя то, что 2 натуральных значения a и b делятся на одно и то же натуральное число, превышающее единицу, если их разница будет делиться на это выражение. Так как a и b — 2 соседних значения, для удобства можно принять что a <b, то b — a = 1. Исходя из того, что один делится только на себя, a и b не будут иметь других общих делителей, кроме единицы.

Из определения о взаимных значениях следует, что любые простые величины всегда окажутся взаимными. Ведь делителями любого простого выражения являются лишь оно само и 1. Кстати, такие значения обозначают так: (a, b) = 1.

Из признаков и свойств можно выделить:

1. Меньшее из возможных общих кратных пары взаимно простых выражений равняется их результату перемножения. Например, (3, 8) = 1. То есть они взаимные. Их наименьшее кратное равно 24. Действительно, если попробовать методом перебора подобрать меньшее значение, найти его будет невозможно.
2. Если числа a и b простые, и существует число c, которое кратно им двоим, оно будет делиться без остатка на результат умножения a * b. Например, (3, 10) = 1, число 60 кратно как трём, так и десяти, а также кратно 30 (3 x 10).
3. Когда числа a и b простые, и имеется такая величина, как b (c b), выражение a * c также будет: b (ac b). Например, (2, 17) = 1, а * c = 34. 34 кратно b, то есть 17. Тогда: a * c = 2 * 34 = 68. Проверить результат легко. Нужно его просто разделить на кратную величину: 68 ÷ 17 = 4. Так как в ответе целое, 68 кратно 17.

Здесь важно понять, что натуральные значения будут взаимными, если их общий делитель равняется единице. Вот пример пары таких чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 или 7, 9, 16.

Таблица и примеры

Часто попадаются задачи, в которых требуется доказать, что целые числа будут взаимно простыми. Доказательство сводится к нахождению наибольшего общего делителя для заданных условием данных. Затем результат проверяют на равенство единице.

Нужно доказать, что делитель не совпадает с членами выражения. Если это не так, произведение k1* k2 *… * kn можно поделить на kn+1. Но на него делится и число k, определяемое суммой k1 * k2 *…* kn+1. Следовательно на kn+1 должно разделиться и второе слагаемое, которое равно одному, а это невыполнимо. То есть всегда может быть новое простое число, не стоящее среди любого количества наперёд заданных простых чисел. Проверка предположения выполнена.

Перед выполнением действий полезно проверить заданные выражения по таблице взаимно простых чисел. Эта таблица строится на том, что если исходные целые значения являются простыми, значит, их НОД равен единице. Обычно в книгах таблица заканчивается 1000. Но такую таблицу можно составить не только до тысячи, но и до сколь угодно большего значения, поэтому она является бесконечно большой. Проверить, что ряд простых значений может быть бесконечным, довольно просто.

Доказательство строится на обратном. Пусть количество простых величин ограничено n штуками. Если имеется значение k, равное k1 * k2 *… * kn+1, оно отлично от каждого из входящих в многочлен. Когда k — простое число, утверждение будет доказано. Должен существовать простой делитель этого числа kn+1.

Как пример, можно привести 3 значения: −99, 17 и −27. Они взаимные, так как любая совокупность простых величин составляет набор взаимности. Например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677. А вот такие значения как 12, −72 не являются взаимными, так как у них есть общее делимое 3, и оно отлично от единицы.

Таким образом, чтобы определить взаимность, необходимо попробовать разложить значения на простые множители. Например, пара состоящая из 8 и 15 будет взаимной, хотя сами числа не являются простыми. То же самое, можно сказать, о 8, 15 и 49. В то же время 6, 8 и 9 хоть и взаимные, но они не будут парно простыми.

Зная, какие выражения попарно взаимные, а какие нет, можно определить возможность сокращения дроби. Интересно, что количество зубцов на звёздочках в цепи передачи стремятся делать взаимно простыми. Это помогает обеспечить равномерность износа: каждый зубец будет входить в звенья цепи по очереди.