Метод сравнения обыкновенных дробей с разными знаменателями

Существует определенный класс задач, в которых требуется произвести сравнение дробей с разными знаменателями. Очень часто операция выполняется неверно, поскольку учащийся не знает алгоритма ее выполнения, а источники в интернете не всегда предоставляют достоверную информацию. Специалисты-математики рекомендуют изучить теорию и разобраться в ключевых методиках, а затем переходить к практике.

Оглавление:

• Правила конвертации
• Смешанные числа
• Приведение к общему знаменателю
• Множитель и произведение
• Простые значения
• Составные элементы

Общие сведения

Дроби — действительные числа, состоящие из целой и дробной частей.

Они классифицируются на два вида:

1. Десятичные.
2. Обыкновенные.

Каждый из типов возможно переводить в другой, т. е. обыкновенную можно переконвертировать в десятичную и наоборот. Десятичная — дробь, целая и дробная часть которой отделены между собой точкой или запятой (2,36 и т. д. ). Обыкновенная — дробное выражение, состоящее из числителя и знаменателя (2/3). Первый расположен в верхней части, а второй — в нижней.

В математике принято записывать дробное значение в десятичной форме, когда операция деления не дает бесконечную величину или для ведения расчетов. Обыкновенная применяется при вычислениях или для окончательной записи результата. Например, лучше записать 1/3, чем бесконечное число 0,333333333333333333333333333333333… и т. д.

Операция деления состоит из следующих элементов: делимого, делителя и частного. Первое — величина, которую требуется разделить, второе — коэффициент, делящий первое значение и третий — результат вычисления.

Правила конвертации

Для представления десятичной дроби в виде обыкновенной математики разработали определенную методику. Она имеет такой вид:

1. Записать искомое выражение: 1,26.
2. Умножить его на 100 (выбирается исходя из количества разрядов после запятой) и сформировать числитель: 126.
3. Провести операции по сокращению и записать искомое выражение: 126/100=1 (26/100)=1 (13/50).

Результат, который получился в последнем пункте, называется смешанным числом. Следует подробно разобрать операции с ним, поскольку при сравнении также используется такая форма записи.

Смешанные числа

Смешанным значением является обыкновенное дробное выражение, полученное в результате преобразования неправильной формы с выделенной целой частью.

Следует отметить, что дроби бывают двух типов: правильными и неправильными. У первых всегда числитель меньше знаменателя, а у вторых — больше.

Математики рекомендуют сравнивать дроби в смешанном формате, когда они представлены в неправильной форме. Существует определенный алгоритм преобразования для этих целей:

1. Записать величину: 29/6.
2. Выделить целое методом подбора: 4 (6*4=24). Если взять 5, она не подойдет, поскольку не выполняется неравенство 29<6*5.
3. Отнять от 29 число 24, а затем записать искомую величину: 4 ((29−6*4)/6)=4 (5/6).

Для выполнения обратной операции методику нужно выполнить в обратном порядке.

Она примет такой вид:

1. Записывается смешанная форма: 4 (5/6).
2. Перемножается знаменатель и целая часть, а затем прибавляется значение, находящееся в числителе: (6*4+5)/6=29/6.

Однако эта методика используется, когда требуется сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Если они разные, нужны дополнительные знания.

Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить 2 дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Существует 3 случая, которые реализуются посредством различных алгоритмов. К ним относятся:

1. Произведение и множитель.
2. Простые величины.
3. Составные элементы.

В первом случае знаменатель одной дроби является множителем другой. Однако это является самым простым вариантом. Задачи такого типа встречаются редко.

Если знаменатели являются простыми числами (делятся на 1 и сами себя), алгоритм приведения будет существенно отличаться от предыдущего.

В последнем случае нужно уметь разложить число на множители или простые элементы.

Множитель и произведение

Для приведения обыкновенных дробей с разными знаменателями, один из которых является множителем другого, требуется воспользоваться простым правилом. Оно имеет следующий вид:

1. Записать две дроби: 1 (2/8) и 1 (¾).
2. Переконвертировать их в неправильные обыкновенные: (8*1+2)/8=10/8 и (4*1+¾)=7/4.
3. Определить результирующую величину или окончательный знаменатель: 8.
4. Умножить на соответствующие коэффициенты, полученные при делении результата в 3 пункте на текущий: [10*(8/8)]/8=10/8 и [7*(8/4)]/8=14/8.

Из методики можно сделать вывод, какой должен быть общий знаменатель для результирующей дроби. На основании этого формируется правило: он равен эквивалентному большему значению, которое делится на второе. Иногда для удобства при выполнении арифметической операции (например, сложения) возможно записать выражение в таком виде: [10*(8/8) + 7*(8/4)]/8=24/8=3.

Если нужно просто сравнить 2 величины, последний оптимизирующий метод использовать нет необходимости.

Простые значения

Если знаменатели двух дробей не равны между собой и являются простыми числами, требуется использовать перекрестный метод. Его суть в том, что для нахождения общего делителя нужно перемножить элементы дробных выражений между собой. Алгоритм имеет такой вид:

1. Записать искомые величины.
2. При необходимости выполнить преобразования из смешанного числа.
3. Для получения результирующего значения требуется перемножить знаменатели.
4. Разделить полученную величину на текущие знаменатели.
5. Умножить числители на множители, полученные в 4 пункте.

Для понимания алгоритма требуется решить пример. Методика для чисел 5/7 и 2/3 имеет такой вид:

1. Записать дроби: 5/7 и 2/3.
2. Преобразовывать не требуется.
3. Общий знаменатель: 7*3=21.
4. Множители: 3 и 7 соответственно.
5. Умножение числителей: 5*3/21=15/21 и 2*7/21=14/21.

После преобразования дробных величин возможно осуществлять любые арифметические и логические (сравнения) операции. Следующий случай является сложным, поскольку требуется умение, позволяющее разложить число на множители.

Составные элементы

Самый сложный случай — знаменатели дроби не являются простыми числами и один из них — не множитель другого.

Для приведения дробей к общему знаменателю требуется отдельные значения разложить на множители, затем найти наименьшее общее значение. Математики называют его наименьшим общим кратным (НОК). Алгоритм имеет такой вид:

1. Разложить знаменатель первой дроби на множители.
2. Выполнение первого пункта для второго.
3. Вывод общего значения на основе анализа элементов.
4. Определение нужных коэффициентов для числителей.
5. Записать результирующие дроби.

Работу методики следует разобрать на примере двух обыкновенных дробей: 7/12 и 13/16. Реализация имеет такой вид:

1. Разложение 12 на простые элементы: 12 = 2*2*3.
2. Простые множители для 16: 16 = 2*2*2*2.
3. Анализ элементов: общие — 2*2=4, недостающие — 3*2*2=12. НОК=общие*недостающие для первого знаменателя, т. е. 12*4=48).
4. Коэффициенты: [7*(48/12)]/48 и [13*(48/16)]/48.
5. Результирующие величины: 7*4/48=28/48 и 13*3/48=39/48.

Можно брать также за основу первый знаменатель, а уже потом искать дополнительные элементы. Математики не рекомендуют использовать последнюю методику, поскольку можно сделать больше ошибок при расчетах. После рассмотрения всех случаев приведения дробей можно перейти к их сравнению.

Сравнение дробей

Сравнить две дроби с разными знаменателями довольно просто.

Условно задачи можно классифицировать таким образом:

1. Одинаковые числители и разные знаменатели.
2. Разные элементы.
3. Отрицательные и положительные.

В первом случае знак больше «>" или меньше «<" ставится в сторону той дробной величины, у которой знаменатель меньше или больше. Например, 5/8 > 5/12, т. к. 8>12. Если у дробных величин разные числители и знаменатели, требуется привести их к общему значению, а затем сравнить. При сравнении отрицательного значения и положительно «<" ставится в сторону первого. В этом случае нет смысла приводить какие-либо преобразования.

Таким образом, для сравнения дробей нужно знать основные алгоритмы приведения с разными знаменателями и уметь преобразовывать смешанные числа.