Пример и объяснение неправильных дробей для 5 класса

Вещественное число, состоящее из одной или нескольких долей единиц, называют дробным отношением. Существуют различные виды таких выражений. Одним из них являются неправильные дроби. В 5 классе на примерах с объяснениями учащимся не только рассказывают об этом типе, но и учат способам перехода от одной формы записи к другой. Понятие является фундаментальным в математике, поэтому его изучению, как и решению заданий, следует уделить довольно пристальное внимание.

Оглавление:

• Общие сведения
• Арифметические действия
• Умножение и деление
• Решение примера

Общие сведения

Понять, что такое дробь, просто. Лучше всего объяснить смысл можно на простом примере, который будет понятен даже ребёнку. Пусть имеется целый торт. Так как пришло время ужинать, его разделили на 3 равные части. Чтобы определить, сколько же каждый получит пирога, нужно выполнить несложную операцию — разделить единицу на 3, то есть из одного целого получились т3 равные части. Вот их как раз и принято называть дробью.

Например, выражение четыре шестых (4/6) будет обозначать, что торт был разделён на 6 частей, при этом 4 кусочка было забрано из тарелки. Существует несколько видов записи. В классической используется горизонтальная или наклонная черта, отделяющая делимое (торт) от делителя (количество кусков). Такое обозначение называют обыкновенным. Второй же вид — десятичный. В этом случае используют запятую, отделяющую целую часть от десятичной. Например, 6,56; 0,8; 0,009.

Существующие обыкновенные дроби разделяют на следующие виды:

• правильные — выражения, у которых число в верхней части (числителе) меньше, чем в нижней (знаменателе);
• неправильные — дробь, в которой знаменатель меньше числителя;
• смешанные — отношения, состоящие из целой и дробной части.

Дроби, вне зависимости от их вида, можно складывать, делить, возводить в степень, то есть выполнять с ними любые математические операции. Но при этом существуют нюансы. Десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную, а смешанную в неправильную. Эти операции также обратимы.

Существует так называемое основное свойство дроби. Это важный принцип, с помощью которого выполняются различные упрощения при выполнении математических вычислений. Согласно ему, если делитель и делимое умножить или разделить на одно и то же число, значение дроби не изменится.

Это легко объяснить на примере. Пусть имеется дробь 8/4. Её числитель и знаменатель можно разделить на 2. В итоге получится новое выражение 4/2. Согласно свойству, 8/4 = 4/2. Чтобы проверить равенство, можно взять и нарисовать эти отношения в виде пиццы, разделённой на части. В первом случае придётся еду разделить на 8 кусков и 4 убрать, а во втором на 4 и забрать 2. Теперь, если присмотреться, можно убедиться, что оставшиеся куски занимают одинаковый объём.

Арифметические действия

По сути, выполнение математических операций с неправильными выражениями не отличается от действий с обыкновенными дробями. Пожалуй, самое трудное - это выполнить сравнение. Для этого необходимо придерживаться следующего алгоритма.

На первом этапе нужно перевести дробное выражение в смешанное. Делается это путём выделения целой части. Преобразование включает в себя 3 этапа: деление числителя на знаменатель, записывание остатка в делимое, подстановки результата в целую часть. Например, 45/8 = (5 * 8 + 5) / 8 + 5 / 8 = 5 + 5 / 8 = 5 5/8. После того как дроби превращены в смешанные, нужно сравнить их целые части. У какого выражения число будет иметь большее значение, то и будет больше. Если же целые равны друг другу, сравнивают их обыкновенные дробные части.

Математики с большим опытом могут решить задачи на сравнение и не преобразовывая выражения. Если при сравнении у дробей одинаковые числители, будет та больше, у которой меньше знаменатель. При одинаковых же делителях выражение с меньшим числителем будет меньше.

Сложение дробей относят к элементарной операции. Выполняют его двумя разными способами, зависящими от значений чисел, стоящих в знаменателях складываемых выражений. При выполнении действия с дробями, имеющими равные делители, в знаменатель ставят это же число, а в числитель сумму делимых, то есть, a / x + b / x = (a + b) / x.

В ином случае понадобится найти дополнительные множители. Но перед этим нужно превратить неправильное выражение в смешанное, а после найти общий знаменатель. Делают это следующим образом:

• раскладывают на простые множители знаменатель каждой дроби;
• записывают строчки одну по другой;
• выделяют числа, которые не входят в разложение большего делителя;
• суммируют отмеченные цифры и складывают их с большим знаменателем.

Таким образом, полученное число и будет наименьшим общим множителем (НОМ). Затем это число делят на каждый знаменатель, а результат умножают на числитель. Далее, складывают новые делимые, а в знаменатель ставят НОМ. Математической формулой операцию сложения можно записать так: a / b + c / n = (a + m / b) / m + c + m / c ) / m = (( a + m / b) + (a + m / c )) / m.

Вычитание отличается от сложения только изменением знака. Там, где стоит плюс, нужно будет поставить минус. Алгоритм же действия не изменится.

Умножение и деление

Знание принципа сложения и вычитания оказывается часто недостаточным, чтобы решать дроби в 5 классе. Нередко в задачах приходится выполнять умножение, деление, возведение в степень или извлечение квадратного корня.

Операции выполняются по тем же правилам, что и для обыкновенных выражений.

При выполнении действий руководствуются следующими советами:

1. Чтобы перемножить 2 дробных выражения, нужно отдельно найти произведение их числителей и знаменателей, а результат записать в виде отношения: a/b * c/n = (a * c)/(b * n).
2. При делении дробей выражение, стоящее справа, переворачивают, то есть в нём меняют местами числитель со знаменателем, и выполняют операцию умножения: (a/b)/(c/n) = (a * n)/(b* c).
3. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо отдельно выполнить действие над делителем и делимым: (a/c) ^k = a^k/c^k.
4. Если дробное выражение находится под корнем, для его извлечения нужно отдельно взять корень в числителе и знаменателе: √(a / c) = √a / √c.

Правильность этих утверждений легко проверяется при практических решениях. Но существуют и доказательства. Например, для произведения. Результат умножения дробей - это площадь прямоугольника со сторонами, равными сомножителям. К примеру, пусть нужно перемножить 3/2 * 7/5. Прямоугольник будет иметь стороны три вторых и семь пятых от некоторой единицы равной один сантиметр.

На рисунке можно изобразить квадрат со сторонами, равными этому сантиметру. Теперь фигуру внутри нужно разделить на 7 одинаковых частей. Каждая такая доля равняется 1/7 см. На 3 равных отрезка квадрат можно разделить и по горизонтали. Таким образом, если подсчитать количество частей в прямоугольнике, их будет 21.

Если же в нарисованном квадрате выделить фигуру со сторонами 2/3 и 5/7, количество ячеек окажется равным 10. Следовательно, площадь измеряемого квадрата будет равна 10/21. А это и есть результат простого перемножения числителей и знаменателей, то есть, 2/3 * 5/7 = 10/21.

По аналогии можно удостовериться в правильности утверждений и при нахождении частного или возведения в степень. Следует запомнить, что неправильную дробь для выполнения действий не нужно обязательно переводить в смешанную. Хотя в некоторых случаях удобнее вначале выполнить преобразование.

Решение примера

Чтобы дать объяснение неправильным дробям, в 5 классе преподаватель приводит ряд примеров, объясняя их решение. Это необходимо, так как понять, а тем более запомнить принцип различных действий лучше всего, применяя знания на практике. Сначала учитель даёт лёгкие задания, а после переходит к более сложным. Вот пример одной такой задачи, позволяющей научить ученика выполнять любые действия с неправильной дробью.

Вычислить ответ уравнения: 2 * (( 4 / 3 + 17 / 6 — 8 / 3 * 4 / 5 + 5 / 30) / (91 / 10 )) ² и сравнить его с дробью 2/11. Перед тем как приступить к расчётам, нужно определиться с последовательностью действий. Согласно правилам арифметики, сначала выполняют действия в скобках. При этом в первую очередь умножают или делят, а после складывают и вычитают.

В первом действии нужно будет умножить 8/2 на 4/5. Пользуясь алгоритмом умножения, решение можно записать так: 8/3 * 4/5 = 8*4/3*5 = 32/15. Теперь нужно выполнить оставшиеся в скобке арифметические операции: (4/3) + (17/6) — (32/15) + (5/30). Для этого следует найти общий знаменатель для всех четырех делителей. Если разложить числа, 3, 6, 15, 30 на наименьшие множители и сложить уникальные, получится 30. Это и будет искомый НОЗ.

Теперь нужно найти дополнительные множители. Для этого на число 30 понадобится разделить каждый знаменатель, а результат умножить на числитель, то есть: (4/3) + (17/6) — (32/15) + (5/30) = (( 10*4) + (5*17) — (2*32) + (6*5))/30 = (40+85 — 64+30)/30 = 91/30. Упростить полученный результат нельзя, так как 91 делится только на само себя.

Для удобства можно переписать пример уже без скобок: 2 * ((91/30) / (91/10))². Осталось выполнить 3 операции: деление, возведение в степень и умножение. Чтобы разделить дробь на дробь, существует простое правило — в делителе нужно поменять местами знаменатель с числителем и найти произведение двух членов. Таким образом: (91/30) / (91/10) = (91/30) * (10/91) = (91*10) / (91* 30) = 1 / 3. Это правильная дробь и дальнейшее её упрощение выполнить невозможно.

Уравнение приняло вид: 2 * (1 / 3)². Чтобы дробное выражение возвести в степень, нужно отдельно выполнить эту операцию для числителя и знаменателя: (1/3)² = 1² / 3² = 1/9. Теперь останется 1/9 умножить на 2 и можно записать ответ: 2*(1/9) = (2/1) * (1/9) = 2/9. Так как в результате получилось число, у которого в знаменателе стоит цифра меньше, чем у заданного для сравнения, оно и будет больше. Значит, 2/9 > 2/11. Задача решена.