Понятие о числовых выражениях в 7 классе

Вычисление числовых выражений в 7 классе является базой для изучения других дисциплин, поскольку применяется специальный алгоритм для упрощения решения задач. В интернете можно найти много методик, обеспечивающих быстрый расчет заданий и параметров. Однако не все они являются правильными, так как составляются людьми, которые не являются специалистами в физико-математической сфере.

Оглавление:

• Общие сведения
• Приоритет операций
• Исключение из правил
• Универсальный алгоритм
• Примеры задач и их решение

Общие сведения

В алгебре существует 2 типа выражений: числовой и алгебраический. Многие их путают, поскольку не знают смыслового значения. Определение для первого типа: числовое — вид тождества, которое состоит из чисел, скобок и знаков арифметических операций.

Иными словами, числовое выражение представляет собой совокупность чисел и знаков арифметических операций, имеющую логическое завершение. Алгебраическое — тождество, содержащее не только все компоненты числового, но и неизвестные (переменные) величины. Например, 25-(25-m)+2 (3−2m).

Например, тождество «25-(25 / 5)*2» является числовым выражением, а «25-*2+*3» — просто набор математических символов. Последний нельзя называть числовым или алгебраическим.

Операция сложения обозначается знаком «+", вычитания — «-", умножения (произведения) — «*", деления — «/" или «:». В первом случае основными компонентами выражения являются 2 слагаемых и результат — сумма. Следует отметить, что слагаемых может быть любое количество.

Следующей операцией является вычитание. Она состоит из следующих элементов: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Уменьшаемое одно, а вычитаемых может быть большое количество.

Произведение состоит также из нескольких компонентов: множимое, множитель и произведение. Первый элемент — число, которое следует умножить. Второй — на какое значение умножается. Результат называется произведением. Однако для простоты используется сокращенное название элементов — множители. Это обусловлено ассоциативным свойством умножения: от перестановки коэффициентов его величина не изменится. Существует следующие типы записей:

1. Полная: 25*(25-n)+2*(3−2*n)-2*(7*n+2*n).
2. Сокращенная: 25 (25-n)+2 (3−2n)-2 (7n+2n).

Последняя применяется практически всегда, поскольку математики считают это «правилом хорошего тона».

Операция деления состоит из следующих компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — число, которое следует разделить на делитель. При этом результат бывает целым и дробным. Последний записывается в виде десятичной (целая часть отделяется от дробной запятой) или обыкновенной дроби, состоящей из числителя (расположен вверху) и знаменателя (внизу).

Приоритет операций

Чтобы вычислить значение какого-либо выражения, нужно разобраться в приоритете. Он задается скобками, т. е. выполняются первые действия, находящиеся в них. Если тождество содержит много групп, отделенных скобками, рекомендуется выполнять операции слева направо (последовательно).

Умножение и деление имеют высший приоритет по сравнению с другими операциями. Однако существуют и другие более сложные расчеты, которые следует выполнять в первую очередь. К ним относятся следующие:

1. Возведение в степень.
2. Вычисление выражения под знаком радикала (корня).
3. Нахождение логарифма.
4. Расчет факториала.
5. Получение результата при решении тригонометрических функций.
6. Нахождение производной или дифференциала.

Знак скобки обладает наивысшим приоритетом. Чтобы понять механизм последнего, следует разобрать следующий пример: 2*(2*(3−1)+2−2*5+7−7*2). В этом случае следует составить план решения выражения (нумерация пунктов соответствует порядку выполнения вычислений):

1. (3−1) = 2.
2. 2*(3−1) = 2*2 = 4.
3. 2*5 = 10.
4. 2−10 = -8.
5. 7*2 = 14.
6. 7−14 = -7.
7. 4−8−7 = 4−15 = -11.
8. 2*(-11) = -22.

Ответ, полученный при решении числового выражения для алгебры 7 класса, эквивалентен значению -22. Если приоритет не учитывать, получится такой ход решения выражения:

1. (3−1) = 2.
2. 2*(3−1) = 4.
3. 2*(3−1) + 2 = 6.
4. 6−2 = 4.
5. 4*5 = 20.
6. 20+7 = 27.
7. 27−7 = 20.
8. 20*2 = 40.
9. 40*2 = 80.

В результате при неверных расчетах получается значение, равное 80. При этом значения в первом и втором случаях сильно отличаются. Этот пример доказывает, что знание приоритета арифметической операции сильно влияет на результаты вычислений. Иногда для удобства можно отступить от правил.

Исключение из правил

Алгебра — дисциплина, в которой следует учитывать оптимизацию вычислений, поскольку это сказывается на времени выполнения поставленной задачи. Приоритета операций следует придерживаться, но существует сокращение или упрощение. Это значит, что перед выполнением математических преобразований, необходимо сократить одинаковые компоненты тождества.

Однако для лучшей иллюстрации применения методики необходимо решить пример: [(7u — 7)(u ² -2u+1)+(3u ² -6u+3)(3−2u)] / [(u-1)^2+(2u+6)(u-1)^2]. Сразу раскрывать скобки необязательно, поскольку это приведет к увеличению объемов расчетов. Выполнять вычисления лучше по такому алгоритму:

1. Выполнить анализ тождества: в числителе и знаменателе видны равные выражения, которые нужно привести к общему виду, используя формулы сокращенного умножения.
2. Записать выражение «(u ² -2u+1)», используя правила сокращенного умножения: (u ² -1).
3. Вынести общий множитель в числителе и знаменателе: [(7u-7)(u ² -2u+1)+(3u ² -6u+3)(3−2u)] / [(u-1)^2+(2u+6)(u-1)^2] = [(7u-7)(u-1)^2+3 ((u-1)^2)(3−2u)] / [(u-1)^2*(1+2u+6)].
4. Сократить дробь на (u-1)^2: [(7u-7)+3 (3−2u)] / [1+2u+6].
5. Привести подобные слагаемые, раскрыв скобки: [7u-7+9−6u)] / [7+2u] = [u+2] / [7+2u].

Найти решение выражения оказалось довольно просто, поскольку для удобства были использованы основные математические правила (вынесение общего множителя и формула сокращенного умножения). После этого на пятом шаге алгоритма использовались правила приоритета операций. Решить пример можно и другим способом — раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Однако этот подход занял бы намного больше времени, а также привел к возможным ошибкам. Исходя из этого можно сформулировать главный принцип не только алгебры, но и других дисциплин с физико-математическим уклоном. Суть его состоит в следующем: любое выражение перед нахождением окончательного результата следует привести к простому виду.

Универсальный алгоритм

Математики разработали специальный алгоритм, облегчающий вычисления на начальном этапе обучения. Кроме того, его можно применять и при сложных расчетах. Суть его заключается в разбиении сложного выражения на модули (части). Это понятие впервые было введено древнегреческим ученым Пифагором.

Для примера следует разобрать выражение, состоящее из всех арифметических операций: [2s (2-s)+(s-1)^2+s ² ] / [3 (1-s)(1+s)+3s ² ]. Чтобы его решить, необходимо руководствоваться следующим универсальным алгоритмом:

1. Ввести обозначения: К = 2s (2-s), L = (s-1)^2, М = s ² , N = 3, О = (1-s)(1+s) и Р = 3s ² .
2. Записать полученное выражение: (K +L+M) / (N*O+P).
3. Вычислить значение K, раскрыв скобки: 2s (2-s) = 4s-2s ² .
4. Найти L: s ² -2s + 1.
5. Записать числитель обыкновенной дроби, а затем осуществить сложение подобных компонентов: К+L+М = 4s-2s ² +s ² -2s+1+s ² = 4s-2s+1 = 2s+1.
6. Вычислить О, используя формулу: (1-s)(1+s) = 1-s ² .
7. Записать произведение компонентов (N*О: N*О = 3 (1-s ² ) = 3−3s ² .
8. Конечная запись знаменателя: N*O+P = 3−3s ² +3s ² = 3.
9. Результат вычисления: (K+L+M) / (P+N*O) = (2s+1) / 3.

Вычисление выражения позволяет сформулировать основное правило: при решении сложного тождества нужно разбить его на простые элементы. Этот принцип позволяет решать задачи, связанные с такими направлениями: бизнес, программирование, научные исследования и т. д.

Примеры задач и их решение

Задачи делятся на простые и сложные. Для решения первых следует применить определенные знания, которые не связаны со сложными формулами и продолжительными вычислениями. Сложные вычисляются посредством формул, упрощения, а также приведением подобных элементов.

Простое задание

Найдите значение числового выражения вида: 2 (5−6:3)^2−4−2 ² *(72−9*4−7*5). Для расчета требуется воспользоваться вычислением по универсальному алгоритму:

1. Обозначения для компонентов тождества: P = 2 (5−6:3)^2 и R = 4+2 ² *(72−9*4−7*5).
2. Вычисление P: Р = 2 (5−6:3)^2 = 2 (5−2)^2 = 2*3 ² = 18.
3. Расчет R: R = 4+2 ² *(72−9*4−7*5) = 4−4*(72−36−35) = 4+4*1 = 8.
4. Запись результата: P-R = 18−8 = 10.

Результаты вычислений в первом и втором случаях совпадают, поскольку решение тождества выполнено верно.

Для опытных математиков

Для продвинутых математиков нужно разобрать такой пример: [4p ² -40p+100+(4-p ² )(p ² -10p+25)] / [(p-5)^2+2 (p ² +20p-30p+25)(2-p)(2-p)]. Это выражение нужно упростить, используя свойство дроби (числитель и знаменатель можно делить или умножать на эквивалентные значения). Решать нужно по следующему алгоритму:

1. Вынесение общего множителя в числителе: 4p ² -40p+100+(4-p ² )(p ² -10p+25) = 4 (p ² -10p+25)+(4-p ² )(p ² -10p+25) = (p-5)^2*(8-p ² ).
2. Операция со знаменателем: (p-5)^2+2 (p ² +20p-30p+25)(2-p)(2-p) = (p-5)^2*(1+8−2p ² ).
3. Сократить дробное тождество на (p-5)^2: (8-p ² ) / (9−2p ² ).

Результат, полученный в последнем пункте, нужно оставить без изменений, т. к. выражение является упрощенным.

Таким образом, для решения алгебраических и числовых выражений следует руководствоваться определенными алгоритмами, позволяющими избежать ошибок и лишних вычислений.