Боковая сторона равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника 2 равных по длине стороны. Каждая из них — боковая сторона равнобедренного треугольника, а третья будет основанием. Их часто просят найти при решении различных задач в геометрии. Зная основные способы решения, формулы, теоремы и свойства геометрической фигуры, учащийся может легко справиться с предложенным заданием.

Оглавление:

• Основные свойства
• Важная теорема
• Полезные формулы
• Примеры решения задач

Основные свойства

Свойства основания равнобокого треугольника применяются на практике. Фигуру будет проще воспринимать визуально, если расположить чертеж таким образом, чтобы основание располагалось снизу.

Принято считать, что равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного. Каждая его сторона может считаться и основанием, и боковой.

Помимо равенства боковых сторон, при решении задач используют совпадение биссектрисы с высотой. Решить задание, как найти основание равнобедренного треугольника, зная боковые стороны, невозможно в следующих случаях:

1. Известно лишь основание или углы.
2. По условию дана только величина характеризующих отрезков — биссектрисы, высоты.

А также решение задачи невозможно, если заданы только две боковые стороны. В остальных случаях найти решение можно, даже если известен только один угол или площадь.

Важная теорема

Для решения задач на построение, когда задана боковая сторона треугольника, используется теорема, связанная с высотой. Применяется она и для медианы с биссектрисой.

Ее суть в следующем:

1. Биссектриса, которая проведена к основанию, будет не только высотой. Она считается и медианой.
2. Высота, проведенная к основанию, не только медиана. А также она может быть названа биссектрисой.
3. Медиана, которая проведена к основанию, будет не только высотой, но и биссектрисой.

Теорема доказывается следующим образом: если в заданном треугольнике ABC из точки B провести высоту BD, он будет разделен на треугольники ABD и CBD. Помимо общего катета, у них равны гипотенузы. Что касается прямых AC и BD, они будут перпендикуляром.

Получается, что в ABD и CBD углы BAD и BCD, а также AB и BC равны. А также — AD и CD. Следовательно, фигуры равны, а BD считается как высотой, так и медианой и биссектрисой.

Полезные формулы

Когда по условию не даны углы, но известны все стороны, поможет формула для косинусов: cos A = (b² + с² - а²)/ 2bc = (b² + a² - а²)/2ba = b²/2ba = b/2a. При этом cos В = (а² + а² - b²)/ 2bc = (b² + a² - а²)/2а² = (2 a² - b²)/2а².

Медиана вычисляется по следующей формуле: √(2 a² + 2b² - а²)/2 = √(a² + 2b²)/2. Биссектрису можно вычислить с помощью формулы √ ab (2a+b)(a+b-a)/(a+b) = b√ a (2a+b)/(a+b).

Средняя линия, параллельная основанию равнобедренного треугольника, считается равной его половине. Равны между собой и средние линии, которые параллельны его боковым сторонам.

Если необходимо вычислить радиус описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности, используется формула R = a²/√(4а² - b²). Когда окружность вписана в фигуру действует формула r= b/2√(2a-b)/(2a+b).

Примеры решения задач

Вот примеры заданий, как узнать боковую сторону равнобедренного треугольника АВС. Так, если основание АС = 8 см, а опущенная на его середину высота (являющаяся медианой) BH =3 см, то AH = AC = 4 см. По теореме Пифагора боковая сторона AB = √ AH ² + BH ² = √ 16+9 = √25 = 5 см.

Можно привести и следующий пример задачи. Если площадь равнобедренного треугольника АВС = 40√ 3 см², а углы при основании (A и C) = 30°, угол B будет равен 180° - 2 * ∠АС = 180° - 2 * 30° = 120°.

В этом случае действует формула S = ½ АВ*АС * sin ∠B = ½ * AB ² * sin 120° = 40√ 3 см². Значит, AB ² = 2*40√ 3/ sin 120 = 80 √ 3:√ 3/2 = 160. Тогда АВ = 4√ 10 см.

Еще пример задачи — если боковая сторона равна 1, а угол при вершине 120°, диаметр окружности, описанной вокруг него, можно найти так: угол при основании будет равен (180−120)/2, то есть 30°. В таком случае диаметр будет 1/sin 30° = 2 см.

Задачи, связанные с нахождением боковой стороны треугольника, часто встречаются в геометрии. Для их решения необходимо знать перечисленные формулы и свойства.