Высоты треугольника, точка их пересечения и теоремы

Решение задач по геометрии часто сводится к самой простой фигуре, называемой треугольником, точка пересечения высот которого обладает важными свойствами, помогающими найти неизвестные величины: стороны, углы, периметр и площадь. В интернете можно найти немало информации по этой теме, но, как правило, она не систематизирована. В результате тратится много времени на поиск формул и важных утверждений.

Оглавление:

• Общие сведения
• Информация об ортоцентре
• Полезные свойства и формулы

Общие сведения

Перед переходом к основным соотношениям высот с другими параметрами треугольника нужно ознакомиться с теоретическими сведениями об этой фигуре. Треугольник — фигура, состоящая из трех вершин, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих их. Упрощенная форма записи в математике — символ «тильда», т. е. Δ. После последнего идут названия трех вершин, например, ΔPTS. Угол обозначается символом ∠, а после него указывается полная запись (∠РТS) или сокращенная (∠a).

Специалисты рекомендуют не называть вершины русскими буквами, поскольку эта запись не является верной. Треугольники бывают нескольких типов, на основании которых можно применить некоторые свойства, утверждения (теоремы) и формулы.

Типы треугольников

Математики классифицируют треугольные фигуры по определенным правилам или критериям. Они отличаются между собой по сторонам и углам. В первом случае фигуры бывают:

• произвольными;
• равнобедренными;
• равносторонними.

К первым принадлежат все фигуры с различными сторонами, ко вторым — с двумя равными, а к третьим — с тремя. Если классифицировать Δ по углам, то фигуры можно разделить на три типа. К ним принадлежат:

• прямоугольные;
• тупоугольные;
• остроугольные.

В прямоугольном Δ один из углов является прямым, т. е. равным 90 градусам. Тогда, используя свойство суммы его ∠, можно сделать вывод, что при сложении последних получается величина, равная 90°. Если Δ тупоугольный, то один из его ∠ эквивалентен величине, которая больше 90°. В остроугольном Δ все ∠ имеют градусную меру меньше 90°.

Следует отметить, что произвольные и равнобедренные Δ бывают прямоугольными и тупоугольными. Однако равносторонние (правильные) могут быть только остроугольными, поскольку все их углы эквивалентны значению 60°. Это можно определить по формуле: ∠K = ∠L = ∠M = 180 / 3 = 60. Кроме того, только вокруг этого типа фигуры можно описать окружность.

Основные и дополнительные параметры

У каждой фигуры, а треугольник не является исключением, существуют основные и дополнительные параметры. К первым относятся стороны и углы, ко вторым — периметр, площадь, высота, медиана и биссектриса.

Периметр — совокупность или алгебраическая сумма значений длин всех его сторон. Площадью является размерность фигуры, которая рассчитывается по некоторому соотношению. Она может быть только у плоских элементов геометрии, кроме точки, прямой, угла, луча и отрезка.

Следует отметить, что при решении задач в фигуре проводятся дополнительные элементы: высота, биссектриса и медиана. Первой называется отрезок, который проводится из вершины треугольника на противоположную сторону под углом 90 градусов. Высота образует подобный Δ относительного того, где она проведена. Это утверждение следует из равенства двух углов и пропорциональности сторон.

Все высоты в остроугольном треугольнике расположены внутри него. Если Δ является прямоугольным, то высоты, которые проводятся из вершин его острых углов, совпадают с катетами. В тупоугольном Δ высота, проведенная из вершины любого острого ∠, всегда находится вне фигуры.

Следующим вспомогательным отрезком является медиана. Она проводится из вершины, как и высота, но не под прямым углом, а соединяет среднюю точку противоположной стороны, посредством которой и будет делиться на две равные части. Биссектриса делит угол на две равные части. Она проводится из вершины Δ.

В произвольном Δ количество высот, медиан и биссектрис эквивалентно числу его вершин, то есть можно провести по три элемента. Однако бывают исключения из этого правила: если фигура равнобедренная или равносторонняя, то ее высота является медианой и биссектрисой.

Информация об ортоцентре

Теорема об ортоцентре позволяет вывести важные свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке. Ее формулировка следующая: высоты, проведенные в произвольном Δ, пересекаются в одной точке. Для доказательства требуется начертить произвольный ΔKLM. Он не должен содержать прямой или тупой угол. Далее нужно действовать по такому алгоритму:

1. Из двух вершин следует провести высоты, которые пересекают противоположную сторону под прямым углом, то есть из вершины L опустить LN на сторону КМ. Аналогичную операцию нужно выполнить для вершины К (KU к LM).
2. Высоты пересекутся в некоторой точке — будущем ортоцентре треугольника. Ее следует обозначить W.
3. Предположим, что высоты не пересекаются. Следовательно, они параллельны. Это записывается таким образом: LN || KU. Сторона KL является секущей по определению.
4. Исходя из третьего пункта, алгебраическая сумма значений углов (∠К/2 и ∠L/2) эквивалентна 180. Из равенства получается, что ∠К + ∠L = 360. Если ∠К и ∠L — внутренние углы ΔKLM, то их сумма не может составлять 360 градусов. Следовательно, предположение ошибочно.
5. На основании доказанного в четвертом пункте утверждения можно сделать вывод, что высоты пересекаются в точке W.
6. Аналогичным образом доказывается, что высота MV, опущенная из вершины M, проходит через ортоцентр. Для этого нужно повторить 1—5 пункты алгоритма, но вместо KU провести MV.
7. Утверждение доказано.

Однако теоремы о высотах недостаточно для решения задач по геометрии. Для этого случая математики вывели полезные свойства и соотношения, облегчающие нахождение неизвестной величины или доказательства нового утверждения.

Полезные свойства и формулы

При решении задач могут потребоваться некоторые свойства ортоцентра, которые были доказаны математиками. К ним относятся следующие:

1. Расположение ортоцентра: остроугольный — в центре, прямоугольный — совпадает с образующей прямой угол вершиной, тупоугольный — внешний (находится за пределами треугольника).
2. Ортоцентр остроугольного Δ — центр окружности, вписанной в него.
3. Алгебраическая сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра (KW, LW и MW) с учетом квадратов сторон (KL, LM и KM) эквивалентна двенадцати квадратам радиуса окружности R, которая описана вокруг треугольника: KW² + LW² + MW² + KL² + LM² + KM² = 12 * R².
4. Расстояние (К{kl}) от ортоцентра до середины стороны KL: К{kl} = KL / (2 * tg (∠K)). Для других величин (К{lm} и К{mk}): К{lm} = LM / (2 * tg (∠L)) и К{mk} = MK / (2 * tg (∠M)) соответственно.
5. Величина расстояний от W до вершин (KW, LW и MW): KW = KL / tg (∠K), LW = LM / tg (∠L) и MW = KM / tg (∠M).
6. Площадь S: S = KL² * sin (∠K) / 2 = LM² * sin (∠L) / 2 = KM² * sin (∠M) / 2.

Существует определенный класс задач, в которых требуется найти координаты ортоцентра. В этом случае нужно начертить декартовую систему координат и отметить на ней вершины, а затем соединить их отрезками. Далее необходимо провести высоты и найти ортоцентр треугольника, а затем начертить из искомой точки проекции на координатные прямые.

Таким образом, расположение ортоцентра треугольника зависит от его вида и является важным параметром для построения вписанных и описанных окружностей.