Применение формулы нахождения площади прямоугольника через диагонали

В геометрии при решении задач иногда требуется найти площадь прямоугольника через диагонали. Формула и ее применение позволяют вычислить эту величину. Однако с самого начала фигуру требуется идентифицировать, руководствуясь определенными признаками. Кроме того, полезно будет знать основные свойства и соотношения для расчета других параметров (периметра, сторон и т. д.).

Оглавление:

• Общие сведения
• Информация о фигуре
• Соотношения для вычислений
• Пример задания

В геометрии при решении задач иногда требуется найти площадь прямоугольника через диагонали. Формула и ее применение позволяют вычислить эту величину. Однако с самого начала фигуру требуется идентифицировать, руководствуясь определенными признаками. Кроме того, полезно будет знать основные свойства и соотношения для расчета других параметров (периметра, сторон и т. д.).

Общие сведения

В геометрии, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, существует взаимосвязь между параметрами. Например, базовая формула площади прямоугольника зависит от длин его противоположных сторон. Впервые ее используют в пятом классе для решения простейших задач.

Однако на начальном уровне дается название фигуры, т. е. прямоугольник или квадрат. В старших классах встречаются задачи на идентификацию последних. На основании исследования принадлежности четырехугольника к определенному виду требуется вычислить некоторые его параметры. Если фигура определена неверно, расчеты будут выполнены некорректно.

Навык решения задач по геометрии необходим не только на вступительных экзаменах, тестировании и зачетах, но и для выполнения ремонта. Например, для комнаты прямоугольной формы нужно купить плитку и обои. Для этого необходимо вычислить площадь и правильно идентифицировать форму основания, т. е. пола или стены.

Однако перед рассмотрением признаков, свойств и формул, которые нужны для нахождения параметров фигуры, следует ознакомиться с теорией, дающей общее представление о прямоугольнике.

Информация о фигуре

Четырехугольник, состоящий из равных и параллельных между собой противоположных сторон, которые образуют прямые углы, называется прямоугольником. Обозначается он четырьмя литерами — именами вершин. Например, UVWX. Специалисты рекомендуют соблюдать очередность в алфавитном порядке, поскольку в высших учебных заведениях преподавательский состав это требует от студентов.

Многие учащиеся делают ошибку, используя в качестве идентификации фигуры определение. Для примера следует рассмотреть квадрат и прямоугольник. У первого противолежащие стороны параллельны и будут равняться одному значению, а углы, образованные ими, равны 90 градусов. Признаки фигур позволяют точно классифицировать вид четырехугольника, а затем применить к нему соответствующие соотношения.

Признаки прямоугольника

Признак или идентификация — набор критериев, на основании которых четырехугольник можно отнести к определенному типу. Первоначальное определение было сформулировано на основании теоремы из евклидовой геометрии, которая гласит, что если у искомого четырехугольника 3 угла прямые, то он прямоугольник. Доказать утверждение довольно просто:

1. Обозначить прямоугольник — UVWX. У него ∠U=∠V=∠W=90.
2. На основании утверждения о сумме внутренних углов найти ∠Х: ∠Х = 360-90-90-90=90.
3. Утверждение доказано.

Однако математики вывели 3 признака, которые помогут отличить прямоугольник от квадрата. К ним относятся:

1. Смежные стороны не равны между собой.
2. Диагонали при пересечении не образуют прямые углы.
3. В прямоугольник невозможно вписать окружность, поскольку он не является правильным четырехугольником.

Первый признак строится из определения самой фигуры. Доказывается это очень просто. Следует начертить прямоугольник и обозначить его UVWX. Он состоит из следующих сторон: первая пара противоположных — UV=WX и вторая — VW=UX. Пусть UV и VX равны между собой. В этом случае будет выполняться такое равенство: UV=WX=VW=UX, т. е. фигура является правильной, поскольку у нее все стороны равны одному значению. Следовательно, она квадрат. Признак доказан.

Диагонали в квадрате и прямоугольнике равны между собой. В этом случае для вычисления такого параметра, как площадь, можно брать любую диагональ (UW и VX). Основное отличие свойства пересечения последних — в квадрате они образуют прямой угол.

Если рассмотреть последний признак, нужно учесть, что окружность можно вписать только в правильные фигуры, т. е. их стороны должны быть эквивалентны между собой. Так можно легко идентифицировать прямоугольник. Однако требуется рассмотреть его основные свойства, которые могут быть полезными при решении задач по геометрии.

Основные свойства

Прямоугольник обладает такими же свойствами, что и квадрат. Однако есть некоторые отличия, состоящие из доказанных математиками утверждений и соотношений. Например, возможно найти площадь прямоугольника, зная диагонали. К свойствам можно отнести:

1. Вершины фигуры — основания прямых внутренних углов, сумма которых составляет 360 градусов.
2. Равенство и параллельность взаимно противоположных сторон.
3. Центр симметрии и окружности — точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Кроме того, через нее можно провести среднюю линию.
4. Подобие и равенство всех треугольников, которые образуются в результате пересечения его диагоналей.

5. Вычисление диагонали (UW=q) через известные смежные стороны (UV=u и VW=v). q ² = u ² + v ².

   

6. Диагональ — диаметр описанной окружности, D = q.
7. Если диагонали пересекаются, образуются большие прямоугольные и малые равнобедренные треугольники.
8. Медиана и высота, которые проведены из любой вершины, равны половине q.
9. Диагональ не является биссектрисой.

Этих свойств недостаточно при решении задач. В этом случае могут пригодиться формулы.

Соотношения для вычислений

В геометрии для удобства решения задач и описания формул применяются сокращенные записи. Пусть прямоугольник обозначается литерами UVWX. Его стороны — UV=u и VW=v, а диагонали - q. Все углы при вершинах эквивалентны 90 градусам. Если рассматривать градусные меры ∠, образованных пересечением двух диагоналей q, острый - w, а тупой - z. Кроме того, вокруг фигуры можно описать окружность с радиусом (R) и диаметром (D).

Начинающие математики часто путают ∠w и ∠z, подставляя в формулу площади через диагональ, размерность не того ∠. У прямоугольника существуют следующие параметры, являющиеся дополнительными: площадь (обозначается литерой "S" и является его размерностью) и периметр "P" (алгебраическая сумма длин 4 сторон).

Нахождение размерности и периметра

Базовое соотношение, по которому возможно вычислить периметр, имеет следующий вид: P=2u+2v. Однако не всегда последние параметры могут быть известны. С этой целью математики вывели несколько полезных соотношений, позволяющих выполнить расчет этой величины:

1. S и сторона: P = [2S+2u ² ]/u=[2S+2v ² ]/v.

2. q и сторона: P=(4u+4(q ² -u ² )^(1/2)=(4v+4(q ² -v ² )^(1/2)).

3. Одна из сторон и R: P=(4u+4(4R ² -u ² )^(1/2)=(4v+4(4R ² -v ² )^(1/2).

4. Cторона и D: P=(4u+4(D ² -u ² )^(1/2)=(4v+4(D ² -v ² )^(0.5).

   

5. Полупериметр "р": р=Р/2.

Выполнить вычисление S можно только для плоского типа фигур. Для объемных тел используется понятие объема V. У последней величины есть поперечное сечение, которое является двумерной фигурой. Измеряется S в единицах, возведенных во вторую степень, т. е. мм ² , см ² , м ² Размерность вычисляется по базовому соотношению S=uv (произведение сторон). Площадь прямоугольника по диагонали - один из простейших методов, который позволяет избежать лишних вычислений. Кроме того, существуют и другие формулы:

1. Значение периметра и одну из сторон (v|u): S = [(Pu)-2u ² ]/2=[(Pv)-2v ² ]/2.

2. q и v|u (символ "|" - краткое обозначение "или"): S=u[q ² -u ² ]^(0.5)=v[q ² -v ² ]^(0.5).

3. Формула площади через диагонали и острый угол: S=[q ² *sin(w)]/2.

4. R и v|u: S=u[4R ² -u ² ]^(0.5)=v[4R ² -v ² ]^(0.5).

5. v|u и D: S=u[D ² -u ² ]^(0.5)=v[D ² -v ² ]^(0.5).

6. Формула Нонаналя: S=2[p(p-v)(p-u)(p-q)]^(0.5).

Возможна комбинация формул для получения выражений, позволяющих сделать вычислительный процесс более "гибким". В этом случае могут пригодиться другие полезные следствия из основных формул.

Полезные формулы

Очень часто во время выполнения расчетов возникает необходимость выполнять промежуточные вычисления. На это тратится определенное время. Математики рекомендуют использовать дополнительные вспомогательные тождества, которые "придут" на помощь учащимся:

1. q и u|v: u=[q ² -v ² ]^(0.5) и v=[q ² -v ² ]^(0.5).

2. S и u|v: u=S/v и v=S/u.
3. P и u|v: u=(P-2v)/2 и v=(P-2u)/2.

4. u и v: q=[u ² +v ² ]^(0.5).

5. S и u|v: q=(S ² +u ⁴ )^(0.5)/v=(S ² +v ⁴ )^(0.5)/u.

6. P и u|v: q=(P ² -4Pu+8u ² )^(0.5)/2=(P ² -4Pv+8v ² )^(0.5)/2.

7. ∠w и u: R=u/2sin(∠w).
8. ∠z и v: R=v/2cos(∠z).

Для нахождения ∠z нужно найти его синус по формуле: sin(∠z)=u/q. Для косинуса (cos(z)) соотношение другое: cos(∠z)=v/q. Кроме того, для острого ∠w синус находится через площадь фигуры: sin(w)=2S/q ² .

Пример задания

У прямоугольника UVWX известна только одна диагональ (q=20 м) и тупой угол (∠z=150). Следует вычислить его площадь, периметр и стороны. Решать задачу нужно по такому алгоритму:

1. Записать формулу площади: S=[q ² *sin(w)]/2.
2. Найти острый угол: ∠w=[360-2*150]/2=30.
3. Подставить величины в первый пункт: S=[20 ² *sin(30)]/2=S=[20 ² *0,5]/2=100(м^2).
4. Вычислить сторону(q=D): u=R*2sin(∠w)=10*2/0.5=10 (м).
5. Вторая сторона v: v=q^2-u^2=400-100=[300]^(0.5) (м).
6. Периметр: Р=2*10+2*[300]^(0.5)=20+2*17*(11)^(0.5)=54,64 (м).

Задача любого типа должна решаться с минимальных количеством формул и вычислений. Алгоритм ее решения должен быть оптимален.

Таким образом, нахождение площади прямоугольника через диагональ позволяет существенно сократить объемы вычислений и время, потраченное на решение этой задачи.