Свойства рациональных дробей и примеры решения задач

На уроках алгебры в 8 классе рассматриваются рациональные дроби и их свойства. Тема является очень важной, поскольку приобретаются навыки упрощения тождеств, решения уравнений, анализа функций, а также выполнения других операций. Математики рекомендуют перед практикой разобрать теорию и основные алгоритмы исследования выражений этого типа.

Оглавление:

• Общие сведения
• Свойства рациональной дроби
• Сферы применения
• Примеры решения

Общие сведения

Рациональная дробь — разновидность рационального выражения, числитель и знаменатель которой содержит многочлены с целыми коэффициентами. Примером является тождество: (3р + 3v — 6v ² ) / (5v — 2р). Для выражения такого типа существует несколько параметров:

1. Математический смысл.
2. Свойства.
3. Преобразование.

Математический смысл этого тождества заключается в анализе допустимых значений переменных, при которых оно не теряет смысл. Именно эту особенность упускают ученики на зачете или контрольной работе по алгебре. Рациональные дроби должны анализироваться на предмет пустого множества, т. е. следует найти все значения, приводящие выражение в бессмысленный вид.

Например, в примере (3р + 3v — 6v ² ) / (p ² — 2р) требуется рассмотреть знаменатель, в котором р не должен соответствовать 0 или 2. Чтобы вычислить эти значения, требуется решить тождество такого вида (р ² — 2р):

1. Записать тождество: р ² — 2р = 0.
2. Вынести общий множитель: р (р — 2) = 0.
3. Найти значения p: р1 = 0 или р2 = 2.

Вторым параметром являются свойства рациональных дробей, знание которых будет очень полезно при решении заданий различного типа. Третий параметр формируется посредством второго, т. к. при выполнении операции преобразования нужно знать свойства дробей, а также уметь сокращать одинаковые выражения.

Некоторые учащиеся путают иррациональные и рациональные выражения. Отличительной чертой первых от вторых является наличие знака радикала (корня или степени, представленной в виде обыкновенной дроби).

Свойства рациональной дроби

Операции с выражениями изучаются в 8 классе. Рациональные дроби и их свойства не являются исключением, поскольку являются базовой основой знаний при решении уравнений и упрощении тождеств, а также при анализе графиков некоторых функций. К ним относятся следующие:

1. Дробь не изменится при умножении или делении числителя и знаменателя на одинаковый многочлен: [(3m — 6m ² ) * (m — 1)] / [(m ² — m) * (m — 1)] = (3m — 6m ² ) / (m ² — m).
2. Для тождества верно такое утверждение при условии, что знаменатель t не равен 0: s / t + v / t = (s + v) / t или s / t — v / t = (s — v) / t.
3. При умножении одной дроби на другую нужно произвести операцию умножения числителей и знаменателей между собой: (s / t) * (v / u) = (s * v) / (t * u).
4. Для деления одного дробного рационального выражения на другое требуется умножить первое на перевернутое второе тождество: s / t: v / u = (s / t) * (u / v) = (s * u) / (t * v).
5. Чтобы возвести в степень, следует отдельно возвести в нее числитель и знаменатель: (t / u)^2 = t ² / u ² .

   

В алгебре основным свойством рационального дробного тождества является первое. Следует отметить, что многочлен при умножении числителя и знаменателя требуется подбирать аккуратно. Необходимо руководствоваться таким правилом: выражение не должно превращать знаменатель в нулевое значение.

Сферы применения

Очень часто рациональные дробные элементы применяются в примерах на решения уравнений этого вида или упрощения тождеств. Первые делятся на 4 класса:

1. Линейные (степень равна 1).
2. Квадратные (2).
3. Кубические (3).
4. Биквадратные (4).

Многие ученики просматривают видеоуроки. Они пытаются понять, как решать рациональные дроби в 8 классе. Ответ на этот вопрос очевиден. Чтобы ее решить, следует упростить дробное выражение, т. е. сократить общие множители, используя свойства.

При решении линейных уравнений рационального типа нужно руководствоваться специальным алгоритмом, который разработали математики. Он имеет такой вид:

1. Приведение подобных слагаемых после раскрытия скобок при необходимости.
2. Перенос неизвестных членов в левую, а известных — в правую сторону.
3. Нахождение корня или доказательство отсутствия решения посредством математических преобразований.

Квадратные рациональные тождества вида A * t ² + B * t + C = 0 с одним неизвестным решаются немного по другому алгоритму, дополняющему первый, т. е. выполняются все 4 действия, а затем вычисляются корни. Методика решения имеет следующий вид:

1. Найти величину дискриминанта по формуле: D = b ² — 4ac.
2. Уравнение имеет 2 решения при D>0: t1 = [(-B) + (D)^(½)] / (2 * A) и t2 = [(-B) — (D)^(½)] / (2 * A).
3. Один корень при D = 0: t = [-B] / (2 * A).
4. Решений нет при D<0.

Математики рекомендуют проверять найденные корни посредством их подстановки в исходное выражение. Если получается значение, равное 0, в левой части, значит, тест пройден, и решение выполнено верно. В противном случае можно сделать вывод, что они являются ложными или при решении уравнения допущены ошибки.

Кубические и биквадратные тождества в программе 8 класса не рассматриваются, но суть их решения сводится к введению замены, при помощи которой происходит сведение к квадратному или линейному виду.

Примеры решения

Решение заданий с использованием рациональных дробных тождеств рекомендуется начинать с простых и заканчивать сложными. К первым можно отнести упрощение выражений, а ко вторым — уравнения различных видов. Специалисты считают, что на начальных этапах обучения следует ознакомиться с готовыми решенными примерами, а затем решать их посредством алгоритмов. Самостоятельное изучение материала тренирует мышление и позволяет разбираться с более сложными темами.

Упрощение тождеств

В первом примере требуется сократить следующую дробь: (2t ² + 4ts + 2s ²) / (t + s). Чтобы выполнить преобразование, необходимо руководствоваться таким алгоритмом:

1. Вынести 2 за скобку.
2. Выделить квадрат.
3. Сравнить числитель и знаменатель.
4. Сократить.

Операция имеет такой вид: (2t ² + 4ts + 2s ²) / (t + s) = 2 (t + s)^2 / (t + s) = 2t + 2s). Однако могут быть и более сложные алгебраические выражения, в которых нужно применить несколько формул сокращенного умножения, раскрыть скобки и другие математические преобразования.

Нахождение корней уравнений

Рациональные дробные выражения применяются также и в уравнениях. Например, необходимо найти корни тождества [(2v ³ — 16) / (2v ² — 4v + 2)] = 0. Оно принадлежит к классу рациональных выражений. Решать его рекомендуется по следующему алгоритму:

1. Проверить знаменатель на равенство нулевому значению, т. е. найти все корни, превращающие его в 0.
2. Упростить равенство, используя свойства дробей.
3. Найти корни.

Чтобы проверить знаменатель, нужно приравнять его к 0, т. е. (2v ² — 4v + 2 = 0). Затем следует найти D: D = (-4)^2 — 4 * 2 * 2 = 16 — 16 = 0. У знаменателя всего 1 корень, поскольку D = 0. Его можно вычислить по такой формуле: v1 = [-b] / (2 * а) = -(-4) / (2 * 2) = 1. Для нахождения корней многочлена, находящегося в числителе, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Общий множитель выносится за скобку: 2 (v ³ — 8) = 0.
2. Сокращение на 2: v ³ — 8 = 0.
3. Разложить на множители: v ³ — 8 = (v — 2)(v ² + 2v + 4).
4. Одно решение v2 = 2, поскольку v ² + 2v + 4 = 0 корней не имеет.

Для проверки нужно подставить корень v2 = 2 в числитель и выполнить следующие сопоставления результатов: v ³ — 8 = 2 ³ — 8 = 0.

Таким образом, изучение рациональных дробных тождеств и их свойств оптимизирует вычисления и позволяет не только упрощать выражения, а также решать уравнения различных видов.