Алгоритм, примеры сложения и вычитания смешанных чисел

Одни и те же значения в математике можно записать различными выражениями. Использование той или иной записи зависит от конкретного примера. Довольно часто приходится иметь дело со смешанными числами. Их сложение и вычитание опирается на правила простейших арифметических действий с обыкновенными дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Другими словами, целую часть в выражении представляют в виде дроби и выполняют необходимое действие.

Оглавление:

• Понятие смешанных чисел
• Действия над дробями
• Простые примеры
• Задания сложного уровня

Понятие смешанных чисел

Число, представленное как сумма натурального числа и правильное отношение, называют смешанным. При этом рациональная дробь будет правильной в том случае, если её делимое будет меньше делителя. Если же числитель выражения равен или превышает её знаменатель, то дробь называют неправильной. Правильная запись дроби будет всегда менее единицы, а неправильная превышать её или быть ей равной.

Любое смешанная дробь состоит из двух частей:

• целой — записывают с левой стороны выражения;
• дробной — указывают после целой части.

Какие-то либо математические знаки между целой и дробной частью не ставят. Например, выражение вида 3 ½ как раз и называют смешанным. При этом число три это целая часть, а ½ — дробная. Следует понимать, что верхнее значение в дробной части указывает на количество имеющихся частей, а нижнее — на сколько их разделяют.

Понимать обозначение записи смешанного выражения очень важно. Например, пусть нужно выполнить сложение числа пять и дроби ¼. Зная, как выполняются действия над дробями, можно записать следующую цепочку решения: 5 + 1/5 = 5/1 + 1 /5 = (5*5) / (1*5) + (1*1) / (5*1) = 25/5 + 1/5 = (25 + 1) / 5 = 26 /5 = 5 1/5.

Обратив внимание на начало записи и конец, можно увидеть, что различие только в опущенном знаке плюс во втором случае: 5 + 1/5 = 5 1/5. То есть фактически имеется свёрнутая и развёрнутая форма записи. Отсюда следует, что если необходимо сложить целую часть и правильного вида выражение, то можно убрать знак сложения, а целое и дробное число записать вместе.

По аналогии со сложением рассматривают и вычитание. Например, от единицы нужно вычесть одну третью. Целую часть можно всегда записать в виде дроби, так как в ней черта, разделяющая числитель и знаменатель, обозначает деление: 1 − 1/3 = 3/3 − 1/3 = (3 − 1) / 3 = 2/3. То есть целое число представляют со знаменателем равным дробной части: 1 − 2/19 = 19/19 − 2/19; 1 − 2 /999 = 999/999 − 2/999.

Когда же целая часть не является единицей, её раскладывают таким образом, чтобы она содержала единичный член, а после используют обозначение смешанного числа при сложении. Например, 3 − 1/3 = 2 + 1 − 1/3 = 2 + 3/3 − 1/3 = 2 + 2/3 = 2 2/3 .

Рассмотренные операции нужно понять так, чтобы их можно было выполнять в уме. В этом случае проблем с нахождением разности смешанных чисел или их суммы возникнуть не должно. При знании материала ответ для примеров вида (4 − 1 ½) быстро вычисляется в уме: (4 − 1 ½) = 4 − (1+ ½) = 4 − 1 − ½ = 3 − ½ = 2 + 1 − ½ = 2 + 2/2 − ½ = 2 + ½ = 2 ½.

Действия над дробями

В пятом классе общеобразовательной школы перед изучением действий над смешанными числами проходят сложение и вычитание дробей с равными знаменателями. Это фундаментальные операции, на них базируются вычисления как в математике, так и в алгебре. Алгоритм вычисления таких примеров довольно прост и состоит всего из трёх действий:

• запись в ответе знаменателя, которым является общее число для всех складываемых членов;
• вычисление числителя путём выполнения арифметических операций над делимыми членами с сохранением их знаков;
• упрощение полученного выражения и при необходимости приведения ответа к смешанной дроби.

Например, ¾ + 7/4 = (3+7) / 4 = 10/4. Объяснить это можно следующим образом. Пусть имеется торт, который разделён на четыре равных куска (части). Три части его забрали. Соответственно в математическом виде это выглядит как ¾. Для второй рассматриваемой дроби получится, что таких тортов два, каждый из которых разделён на четыре одинаковых куска. В первом все части будут забраны, а во втором только три. Всего же получится три торта разрезанных на четыре части каждый с забранными десятью кусками, то есть 10 / 4.

Из полученного выражения можно выделить целую часть — привести к смешанной дроби. Для этого делимое делят на знаменатель «уголком» и остаток переносят в числитель. Для рассматриваемого примера правильным ответом будет 2 ½. Так же выполняют и вычитание. Знаменатель переписывают без изменения, а в числитель представляют как результат вычитания делимых членов: 7/5 − 2/5 = 5/5 = 1. Эти правила справедливы и для вычислений выражений содержащих более двух членов. Например, 17 / 19 + 1 / 19 − 8 / 19 = (17 + 1 − 8) / 19 = 10 / 3 = 3 1/3.

При выполнении действий с отличными знаменателями принцип вычисления заключается в приведении примера к виду, когда все члены получаются с одинаковым делителем. В некоторых случаях проще всего помножить числитель и делитель каждой дроби на число, стоящее в знаменателе другого выражения. Например, 8/9 + 17 /18 = (8*18 / 9*18) + (17 *9) / (18*9). Но такая запись чаще всего громоздкая и неудобная. Поэтому следует научиться находить наименьший общий знаменатель. Вычисляют его путём разложения заданных делителей на множители.

Для рассматриваемого примера справедливым будет следующая цепочка решения: 8/9 + 17 /18 = (8 / (3*3)) + (17 / (3*3*2))= ((8 * 2) + (17 * 2)) / 9. То есть одинаковые члены перемножают и результат записывают в делимое, а оставшиеся используют как множители числителей.

Простые примеры

Важно не только понимать принцип смешанного сложения и вычитания на 5 баллов или 12, то есть на «отлично» (зависит от системы оценок в учебном учреждении), но и уметь применять полученные навыки на практике. Существует ряд примеров, позволяющих практически освоить теоретические навыки. При умении их решать, задачи разной сложности не вызовут затруднений в нахождении правильного ответа.

Вот некоторые из них, в которых необходимо выполнить требуемое действие:

1. Сложить: 12 8/11 + 9 3/11. При решении этого примера следует вспомнить, что 12 8/11 есть не что иное, как сложение и вычитание смешанных чисел 3 + 8/11, а 9 3/11 — иная запись выражения 9 + 3/11. Отсюда следует, что заданное выражение можно переписать как (12 + 8/11) + (9+3/11). Затем применить правило, которое гласит, что для того, чтобы суммировать смешанные части, необходимо выполнить действия отдельно над целыми частями и дробными. То есть верным будет следующее: (12 + 8/11) + (9+3/11) = (12+9) + (8/11+ 3/11) = 21 + ((8+3)/11) = 21 + 11/11 = 21 + 1 = 22.
2. Определить разность двух чисел: 7 3/15 − 2 2/15. Решение выполняют по аналогии с предыдущей задачей: 7 3/15 — 3=2 2/15 = (7 + 3/15) − (2 +2/15) = (7 − 2) + (3/15 − 2/15) = 4 + ((3−2) /15) = 4+ 1/15 = 4 1/15.
3. Немного сложнее пример, в котором получается неправильная дробь: 6 10/13 + 2 9 /13. После суммирования целой и дробной части получится следующий ответ: 8 + 19/11. Делитель с остатком, поэтому ответ приводят к нормальному виду: 8 + 19/13 = 8 + 1 6/13 = 9 3/13.
4. В этом задании нужно от целой части отнять дробную: 2 − 6/7. Целую часть представить в виде двух чисел, одним из которых обязательно должна быть единица: 2 − 6/7 = (2+7/7) — 6/7 = 2 1/7.
5. Последний тип задания подразумевает нахождение результата вычисления сложения или вычитания целого числа и смешанного. Например, 10 − 5 4/23. Девятку нужно представить как 9 +1. Это необходимо для дальнейшего приведения простого числа к дроби. То есть: 10 − 5 4/23 = 9+1 − 5 4/23 = 9 + 23/23 − 5 4/23 = 4 19/7 = 6 6/7.

В простых примерах делать подробные вычисления не нужно. Их следует стараться делать устно, как бы свернуть. При тренировке удобно промежуточные операции проговаривать про себя, пока действия не дойдут до автоматизма.

Задания сложного уровня

При решении задач, касающихся действий над смешанными дробями, нужно всегда использовать правило поочерёдного сложения или вычитания целых и дробных частей выражения. Различные задания могут содержать энное число членов, но при этом правило остаётся неизменным.

Пусть дано выражение вида: 5 15 / 21 + 9 20 / 21 − 6 7/1 3 + 9 5/12 − 6 11/12. Такие примеры проще решать по действиям. Для рассматриваемого примера их будет четыре:

• 5 15 / 21 + 9 20 / 21 = 15 2/3;
• 15 2/3 − 6 7/1 3 = 9 5/39;
• 9 5/39 + 9 5/12 = − 15/52;
• − 15/52 − 6 11/12 = − ((15*52 + 15)/52) − ((6*12 + 11)/12) = − 22 8/39.

Следующая задача требует не только знания правил, но и практического навыка сложения и вычитания чисел. 5 2/3 тонн яблок привезли на овощную базу, а груш доставили на 7/8 тонн меньше, при этом в хранилище уже было персиков на 1/8 тонны больше, чем груш. Спрашивается, сколько всего тонн грузов находится на овощной базе.

Решать её необходимо следующим образом. Из условия известно, что груш меньше, чем яблок на 7/8 тонны. Поэтому верным будет записать, что находится 2 3/8 − 7/8 = 1 + 8/8 + 3/8 − 7/8 = 1 (8 + 3 − 7)/8 = 1 4/8 тонн груш. Используя второе условие, можно найти ранее завезённое количество персиков: 1 4/8 + 1/8 = 1 5/8. Последним действием можно подсчитать общий вес овощей на базе: 2 3/8 + 1 4/8 + 1 5/8 = 4 + 12/8 = 4 + 1 4/8 = 5 4/8 тонны. Таким образом, верно утверждать, что на базе находится пять целых четыре восьмых тонны овощей.

Необходимо отметить, что только самостоятельное решение нескольких заданий позволит закрепить полученные навыки. Для проверки правильности решений можно использовать математические онлайн-калькуляторы.

Это специализированные сайты, выполняющие любые действия над дробями в автоматическом режиме. При этом часто они не только выдают ответ, но и умеют показывать подробное решение, что позволяет проверить правильность алгоритма своих вычислений.